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CAPÍTULO 2
Probabilidad
Esto se debe a que 1 5 P(A) 1 P(Ar) $ P(A) puesto que P(Ar) $ 0. Cuando los eventos A y B son mutuamente exclusivos, P(A ´ B) 5 P(A) 1 P(B). Para eventos que no son mutuamente exclusivos, la adición de P(A) y P(B) da por resultado un “doble conteo” de los resultados en la intersección. El siguiente resultado muestra cómo corregir esto. PROPOSICIÓN
Para dos eventos cualesquiera A y B, P(A ´ B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ¨ B) Comprobación Obsérvese primero que A ´ B puede ser descompuesto en dos eventos excluyentes, A y B ¨ Ar; la última es la parte de B que queda afuera de A (ver figura 2.4). Además, B por sí mismo es la unión de los dos eventos excluyentes A ¨ B y Ar ¨ B, por lo tanto P(B) 5 P(A ¨ B) 1 P(Ar ¨ B). Así P(A ´ B) 5 P(A) 1 P(B ¨ Ar) 5 P(A) 1 [P(B) 2 P(A ¨ B)] 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ¨ B) A
B
Figura 2.4
Ejemplo 2.14
⫽
Representación de A B como la unión de dos eventos excluyentes
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En cierto suburbio residencial, 60% de las familias se suscriben al servicio de internet de la compañía de televisión por cable, 80% lo hacen al servicio de televisión de esa compañía y 50% de todas las familias a ambos servicios. Si se elige una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contrate por lo menos uno de estos dos servicios de la empresa, y cuál es la probabilidad de contratar exactamente uno de estos servicios de la empresa? Con A ⫽ {se suscribe al servicio de internet} y B ⫽ {se suscribe al servicio de televisión por cable}, la información dada implica que P(A) 5 .6, P(B) 5 .8 y P(A ¨ B) 5 .5. La proposición precedente ahora lleva a P(se suscribe a por lo menos uno de los dos servicios) 5 P(A ´ B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ¨ B) 5 .6 1 .8 2 .5 5 .9 El evento de que una familia se suscribe sólo al servicio de televisión por cable se escribe como Ar ¨ B [(no internet) y televisión]. Ahora la figura 2.4 implica que .9 5 P(A ´ B) 5 P(A) 1 P(Ar ¨ B) 5 .6 1 P(Ar ¨ B) a partir de la cual P(Ar ¨ B) 5 .3. Asimismo, P(A ¨ Br) 5 P(A ´ B) 2 P(B) 5 .1. Todo esto se ilustra en la figura 2.5, donde se ve que P(exactamente uno) 5 P(A ¨ Br) 1 P(Ar ¨ B) 5 .1 1 .3 5 .4 P(A' B)
P(A B' ) .1 .5
Figura 2.5
.3
Probabilidades para el ejemplo 2.14
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La probabilidad de una unión de más de dos eventos se calcula en forma análoga.