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Capítulo 2 Conducción de calor z dr θ
r dθ y dφ
x
φ
FIGURA 2.5 Sistema coordenado esférico para la ecuación general de conducción. Si el flujo de calor en una forma cilíndrica sólo es en la dirección radial, T = T(r, t), la ecuación de conducción se reduce a # qG 1 0T 1 0 0T = ar b + (2.20) r 0r 0r a 0t k Además, si la distribución de temperatura no varía con el tiempo, la ecuación de conducción se transforma en # qG 1 d dT (2.21) ar b + = 0 r dr dr k En este caso la ecuación para la temperatura contiene sólo una variable individual r y es por tanto una ecuación diferencial ordinaria. Cuando no hay generación interna de energía y la temperatura es una función sólo del radio, la ecuación de conducción de estado en régimen permanente para coordenadas cilíndricas es d dT ar b = 0 dr dr
(2.22)
Para coordenadas esféricas, como se muestra en la figura 2.5, la temperatura es una función de las tres coordenadas espaciales, r, u, f y del tiempo t, es decir, T = T(r, u, f, t), Entonces la forma general de la ecuación de conducción en coordenadas esféricas es # qG 1 0 0T 1 0 2T 1 0T 1 0 2 0T (2.23) ar + b + 2 2 asenu b + 2 = 2 0r 2 a 0r 0u 0u k 0t r r sen u r senu 0f
2.3
Conducción de calor en régimen permanente en geometrías simples En esta sección se mostrará cómo obtener soluciones para las ecuaciones de conducción deducidas en la sección anterior para configuraciones geométricas relativamente simples con y sin generación interna de calor.