2.2 Ecuación de conducción 77 El otro grupo adimensional que aparece en la ecuación (2.14) es una relación de la generación interna de calor por tiempo unitario con respecto a la conducción de calor a través del volumen por tiempo unitario. Se utilizará el símbolo Q·G para representar este número adimensional de generación de calor: # # qGL2r (2.16) QG = kTr Ahora la forma unidimensional de la ecuación de conducción expresada en forma adimensional se convierte en # 0 2u 1 0u + QG = (2.17) 2 Fo 0t 0j Si prevalece el estado en régimen permanente, el lado derecho de la ecuación (2.17) se vuelve cero.
2.2.3 Coordenadas cilíndricas y esféricas La ecuación (2.6) se dedujo para un sistema coordenado rectangular. Si bien los términos de generación y almacenamiento de energía son independientes del sistema coordenado, los términos de conducción de calor dependen de la geometría y por tanto del sistema coordenado. La dependencia en el sistema coordenado utilizado para formular el problema se puede remover remplazando los términos de conducción de calor con el operador laplaciano. # qG 1 0T (2.18) = §2T + a 0t k La forma diferencial de este operador es diferente para cada sistema coordenado. Para un problema tridimensional transitorio general en las coordenadas cilíndricas que se muestran en la figura 2.4, T = T(r, f, z) y q·G = q·G (r, f, z, t). Si el operador laplaciano se sustituye en la ecuación (2.18), la forma general de la ecuación de conducción en coordenadas cilíndricas se convierte en # qG 0T 1 0 2T 0 2T 1 0T 1 0 ar b + 2 2 + 2 + = (2.19) r 0r a 0t 0r k r 0f 0z z r
dz
dr
z dφ y φ x
FIGURA 2.4 Sistema coordenado cilíndrico para la ecuación general de conducción.