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Apéndice A
Repaso de conceptos fundamentales de álgebra
Reglas básicas del álgebra Hay cuatro operaciones aritméticas con números reales: adición, multiplicación, sustracción y división, denotadas por los símbolos ⫹, ⫻ o ⭈ , ⫺ y ⫼ o /. De éstos, la adición y multiplicación son las dos operaciones primarias. Sustracción y división son operaciones inversas de adición y multiplicación, respectivamente.
Definiciones de sustracción y división Sustracción: Sume lo opuesto.
División: multiplique por el recíproco.
a ⫺ b ⫽ a ⫹ 共⫺b兲
Si b ⫽ 0, entonces a兾b ⫽ a
冢b冣 ⫽ b . 1
a
En estas definiciones, ⫺b es el inverso aditivo (u opuesto) de b, y 1兾b es el inverso multiplicativo (o recíproco) de b. En la forma fraccionaria a兾b, a es el numerador de la fracción y b es el denominador.
Como las propiedades de los números reales siguientes son verdaderas para variables y expresiones algebraicas, así como para números reales, con frecuencia reciben el nombre de reglas básicas del álgebra. Trate de formular una descripción verbal de cada una de ellas. Por ejemplo, la primera propiedad dice que el orden en el que se suman dos números reales no afecta su suma.
Reglas básicas de álgebra Sean a, b y c números reales, variables o expresiones algebraicas. Propiedad Propiedad conmutativa de la adición: Propiedad conmutativa de la multiplicación: Propiedad asociativa de la adición: Propiedad asociativa de la multiplicación: Propiedades distributivas: Propiedad aditiva de identidad: Propiedad multiplicativa de identidad: Propiedad aditiva inversa: Propiedad multiplicativa inversa:
Ejemplo a⫹b⫽b⫹a ab ⫽ ba 共a ⫹ b兲 ⫹ c ⫽ a ⫹ 共b ⫹ c兲 共ab兲 c ⫽ a共bc兲 a共b ⫹ c兲 ⫽ ab ⫹ ac 共a ⫹ b兲c ⫽ ac ⫹ bc a⫹0⫽a a⭈1⫽a a ⫹ 共⫺a兲 ⫽ 0 1 a ⭈ ⫽ 1, a ⫽ 0 a
4x ⫹ x ⫽ x 2 ⫹ 4x 共4 ⫺ x兲 x 2 ⫽ x 2共4 ⫺ x兲 共x ⫹ 5兲 ⫹ x 2 ⫽ x ⫹ 共5 ⫹ x 2兲 共2x ⭈ 3y兲共8兲 ⫽ 共2x兲共3y ⭈ 8兲 3x共5 ⫹ 2x兲 ⫽ 3x ⭈ 5 ⫹ 3x ⭈ 2x 共 y ⫹ 8兲 y ⫽ y ⭈ y ⫹ 8 ⭈ y 5y 2 ⫹ 0 ⫽ 5y 2 共4x 2兲共1兲 ⫽ 4x 2 5x 3 ⫹ 共⫺5x 3兲 ⫽ 0 1 共x 2 ⫹ 4兲 2 ⫽1 x ⫹4 2
冢
冣
Como la sustracción se define como “sumar lo opuesto”, las propiedades distributivas también son verdaderas para la sustracción. Por ejemplo, la “forma de sustracción” de a共b ⫹ c兲 ⫽ ab ⫹ ac es a共b ⫺ c兲 ⫽ ab ⫺ ac. Observe que las operaciones de sustracción y división no son conmutativas ni asociativas. Los ejemplos 7⫺3⫽3⫺7 y
20 ⫼ 4 ⫽ 4 ⫼ 20
demuestran que la sustracción y división no son conmutativas. Del mismo modo 5 ⫺ 共3 ⫺ 2兲 ⫽ 共5 ⫺ 3兲 ⫺ 2 y
16 ⫼ 共4 ⫼ 2) ⫽ 共16 ⫼ 4) ⫼ 2
demuestran que la sustracción y la división no son asociativas.