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Capítulo 8
Matrices y determinantes
Se dice que la última matriz del Ejemplo 4 está en forma escalonada por renglones. El término escalonada se refiere al escalón formado por los elementos diferentes de cero de la matriz. Para estar en esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades.
Forma escalonada por renglones y forma escalonada por renglones reducida Una matriz en forma escalonada por renglones tiene las siguientes propiedades. 1. Cualesquier renglones formados enteramente de ceros se presentan en la parte inferior de la matriz. 2. Por cada renglón que no esté formado enteramente de ceros, la primera entrada diferente de cero es 1 (llamado 1 inicial). 3. Para dos renglones sucesivos (diferentes de cero), el 1 inicial del reglón más alto está más a la izquierda que el 1 inicial del renglón más bajo. Una matriz en forma escalonada por renglones está en forma escalonada por renglones reducida si toda columna que tenga un 1 inicial tiene ceros en toda posición arriba y abajo del 1 inicial. Merece la pena observar que la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Esto es, dos sucesiones diferentes de operaciones elementales de renglón pueden dar diferentes formas escalonadas por renglones, pero la forma escalonada por renglones reducida de una matriz determinada es única.
Ejemplo 5
Forma escalonada por renglones
Determine si cada matriz está en forma escalonada por renglones. Si lo está, determine si la matriz está en forma escalonada por renglones reducida.
冤
1 a. 0 0 1 0 c. 0 0 1 e. 0 0
冤
冤
2 1 0 ⫺5 0 0 0 2 2 0
⫺1 0 1 2 1 0 0 ⫺3 1 1
4 3 ⫺2 ⫺1 3 1 0 4 ⫺1 ⫺3
冥
冤
3 ⫺2 4 1
冥
冥
1 b. 0 0 1 0 d. 0 0 0 f. 0 0
冤
冤
2 0 1 0 1 0 0 1 0 0
⫺1 0 2 0 0 1 0 0 1 0
2 0 ⫺4 ⫺1 2 3 0 5 3 0
冥
冥 冥
Solución Las matrices en (a), (c), (d) y (f) están en forma escalonada por renglones. Las matrices en (d) y (f) están en forma escalonada por renglones reducida porque toda columna que tiene un 1 inicial tiene ceros en toda posición arriba y debajo de su 1 inicial. La matriz en (b) no está en forma escalonada por renglones porque un renglón formado de ceros no se presenta en la parte inferior. La matriz en (e) no está en forma escalonada por renglones porque el primer elemento diferente de cero en el renglón 2 no es un 1 inicial. Ahora trate de hacer el Ejercicio 41. Toda matriz es equivalente por renglones a una matriz en forma escalonada por renglones. Por citar un caso, en el Ejemplo 5 se puede cambiar la matriz del inciso (e) a la forma escalonada por renglones multiplicado por 12 su segundo renglón.