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Capítulo 3 / Introducción al movimiento de fluidos Tabla 3.1
Derivada sustancial, aceleración y vorticidad en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas Derivada sustancial
Cartesianas D u v Dt x y Cilíndricas D vr Dt r Esféricas D vr Dt r
„
z
Vorticidad Cartesianas v „ u vy vx z y z Cilíndricas vu 1 vz vr vu z r u Esféricas 1 (vf senu) vr r se nu u
t
vu r u
vz
vu r u
vf r sen u f
z
t
t
Aceleración Cartesianas u u u u u v „ ax t x y z v v v v ay u v „ t x y z „ „ „ „ az u v „ t x y z Cilíndricas vr vr vu vr vr vr vz ar t r r u z vu vu vu vu vu au vr vz t r r u z vz vz vu vz vz az vr vz t r r u z Esféricas vr vr vu vr vf vr ar t r r u r s en u vu vu vu vu vf au vr t t r u r s en f af
vf t
vr
vf r
vu vf r u
vu
1 vr 1 r senu f
r
„ x vr z vu f
vz
vz r vf
v x vz 1 r
u y 1 r
r
(rvu) r
(rvu)
vr u vr u
(rvf)
vu2 r vrvu r
vr vf2 v u2 f r vu vr vu vf2 cot u r f
vf vf r sen u f
vr vf
vuvf cot u r
y la cara yz nos daría la velocidad angular respecto al eje x: x
Vorticidad: Dos veces la velocidad angular.
1 2
„ y
v z
(3.2.17)
Éstas son las tres componentes del vector velocidad angular. Un corcho colocado en un flujo de agua en un canal ancho (el plano xy) giraría con una velocidad angular respecto al eje z, dada por la ecuación 3.2.15. Es común definir la vorticidad \ como el doble de la velocidad angular; sus tres componentes son entonces vx
„ y
v z
vy
u z
„ x
vz
v x
u y
(3.2.18)
Las componentes de la vorticidad en coordenadas cilíndricas y esféricas están incluidas en la tabla 3.1.