1.1 Integración de funciones básicas
Utiliza la relación que estableciste entre el resto de las funciones dadas en la tabla y sus derivadas y responde las siguientes preguntas: La antiderivada de h (x) es:
. Justifica tu respuesta (por qué)
.
La antiderivada de f (x) es:
. Justifica tu respuesta (por qué)
.
En general, cuando nos dan la derivada de una función y nos piden encontrar la función “original”, a esta se le llama antiderivada. Si utilizamos una letra mayúscula, digamos F, para denotar a la antiderivada y usamos la letra minúscula correspondiente f para denotar a la derivada, podemos establecer la siguiente definición:
Se dice que F es una antiderivada de una función f si cumple que F ′ = f .
Es decir, para determinar si una función F es antiderivada de una función f hay que comprobar que al derivar la función F se obtiene la función f. Determina si las funciones F ( x ) = x 2 + 1 , H ( x ) = x 2 + 3 y G ( x ) = x 2 − la función y = 2 x . ¿Lo son? Sí
. No
.
¿Qué hiciste para decidir?
.
Las funciones F, G y H ¿son iguales? Sí tre ellas?
1 son antiderivadas de 4
. No
. ¿Cuál es la diferencia en-
. ¿A qué se debe que al derivarlas el resultado sea el mismo? .
¿Se te ocurre alguna otra antiderivada para la función y = 2 x ? Sí
. No
. ¿Cuál?
Escríbela:
.
¿Cuál sería la notación para representar a la familia de antiderivadas de la función y = 2 x ? . ¿Es factible que cualquier otra función tenga muchas antiderivadas? . Del análisis anterior podemos asegurar que la antiderivada de una función no es única; sin embargo, también podemos concluir que cada derivada tiene asociada una única familia de antiderivadas, la cual representaremos por la expresión F ( x ) + C y la llamaremos antiderivada más general. Al proceso de encontrar la antiderivda más general de una función se le conoce con el nombre de integración, y el símbolo que se utiliza para denotarlo es ∫ . Así que, cuando veamos la expresión f ( x ) dx , significa que debemos encontrar la antiderivada más general de la función f ( x ) .
∫
Nota: A la expresión
∫ f ( x ) dx
también se le conoce con el nombre de integral indefinida.
3