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CAPÍTULO tres ∤ Funciones de “n” variables
3.2
GRÁFICAS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Algunas de las estrategias que aprendiste en tus cursos previos de cálculo para graficar funciones de una variable pueden generalizarse y usarse para graficar funciones de dos variables. Seguramente recordarás que para construir la gráfica de una función de la forma y = f (x) es necesario contar con un eje para cada variable. En este caso se requieren dos ejes perpendiculares para trazar la gráfica de dicha función. Dicho par de ejes coordenados genera un espacio de dos dimensiones que recibe diferentes nombres, como plano xy, plano cartesiano o espacio coordenado bidimensional. Con base en lo anterior, resulta lógico pensar que una función de la forma z = f (x,y) requiere tres ejes mutuamente perpendiculares para trazar su gráfica. Este trío de ejes coordenados genera un espacio de tres dimensiones que se conoce con el nombre de espacio xyz, espacio cartesiano, espacio coordenado de tres dimensiones o simplemente espacio de tres dimensiones. Al inicio describiremos este sistema coordenado.
Espacio de tres dimensiones Los tres ejes mencionados anteriormente deben intersectarse en un punto que recibe el nombre de origen y, para cumplir la condición de ser mutuamente perpendiculares, los ángulos entre cada uno de estos ejes deben ser de 90°, como se muestra en la siguiente figura: z
El eje x se considera positivo hacia adelante y negativo hacia atrás. El eje y se considera positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda. El eje z se considera positivo hacia arriba y negativo hacia abajo.
y
x
Los puntos en este sistema coordenado se describen mediante tres valores llamados coordenadas del punto. A su vez, las coordenadas del origen son (0, 0, 0).
División del espacio tridimensional Para comprender mejor la forma como se divide el espacio de tres dimensiones recordaremos el modo de dividir el plano. Cuando se dibujan los ejes coordenados x y y en un plano, este queda dividido en cuatro partes, llamadas cuadrantes. Dichos cuadrantes se enumeran como se muesy tra en la siguiente figura.
II
I x
III
IV