10.1
Grafos: definiciones y propiedades básicas 637
Solución a. No es posible dicho grafo. Por el corolario 10.1.2, el grado total de un grafo es par. Pero un grafo con cuatro vértices de grados 1, 1, 2 y 3 tendría un grado total de 1 C 1 C 2 C 3 D 7, que es impar. b. Sea G cualquiera de los grafos que se muestra a continuación. a
b
d
c
a
b
d
a
c
b
d
c
a
b
d
c
En cada caso, independientemente de cómo se etiquetan las aristas, deg(a) D 1, deg(b) D 1, deg(c) D 3 y deg(d) D 3. c. No hay grafo simple con cuatro vértices de grado 1, 1, 3 y 3. Demostración (por contradicción): Suponga que había un grafo simple G con cuatro vértices de grado 1, 1, 3 y 3. Llame a a y b los vértices de grado 1 y llame a c y d los vértices de grado 3. Ya que deg(c) D 3 y G no tiene bucles o aristas paralelas (porque es simple), debe haber aristas que conecten c con a, b y d. a
b
d
c
Por el mismo razonamiento, debe haber aristas que conectan a d con a, b y c. a
b
d
c
Pero entonces deg(a) 2 y deg(b) 2, lo que contradice la suposición de que estos vértices tienen grado 1. Por tanto la suposición es falsa y en consecuencia no existe algún grafo simple con cuatro vértices de grado 1, 1, 3 y 3. N
Ejemplo 10.1.14 Aplicación de un grafo conocido ¿Es posible formar en un grupo de nueve personas para cada cinco amigos con otros cinco exactamente?
Solución
La respuesta es no. Imagine que construye un “grafo conocido” cada una de las nueve personas se representan con un vértice y dos vértices se unen con una arista si y sólo si, los que representan son amigos. Suponga que cada una de las personas eran amigos con otras cinco exactamente. Entonces cinco sería el grado de cada uno de los nueve vértices del grafo y así el grado total del grafo sería 45. Pero esto contradice el corolario 10.1.2, que dice que el grado total de un grafo es par. Esta contradicción muestra que la suposición es falsa y por tanto es imposible que cada persona en un grupo de nueve personas sean amigos de otras cinco exactamente. N
La siguiente proposición se deduce fácilmente del corolario 10.1.2 utilizando las propiedades de los enteros pares e impares.