CAPÍTULO
10
GRAFOS Y ÁRBOLES Ya se han presentado antes en este libro grafos y árboles como convenientes visualizaciones. Por ejemplo, un árbol de probabilidad muestra todos los posibles resultados de una operación de varios pasos con un número finito de resultados para cada paso, el grafo dirigido de una relación en un conjunto muestra qué elementos del conjunto están relacionados, un diagrama de Hasse ilustra las relaciones entre los elementos de un conjunto que está parcialmente ordenado y un diagrama PERT muestra las tareas que deben realizarse antes de la ejecución de un proyecto. En este capítulo presentamos algo de las matemáticas de grafos y de árboles, se analizan conceptos como el grado de un vértice, conectividad, circuitos de Euler y hamiltonianos, representación de grafos con matrices, isomorfismos de grafos, la relación entre el número de vértices y el número de aristas de un árbol, propiedades de las raíces de los árboles, los árboles expandidos y las trayectorias más cortas en los grafos. Las aplicaciones incluyen el uso de grafos y árboles en el estudio de inteligencia artificial, química, problemas de programación y sistemas de transporte.
10.1 Grafos: definiciones y propiedades básicas La totalidad de las matemáticas consiste en la organización de una serie de ayudas a la imaginación en el proceso de razonamiento. —Alfred North Whitehead, 1861-1947
Imagine una organización que quiere establecer equipos de tres para trabajar en algunos proyectos. A fin de maximizar el número de personas en cada equipo que tengan experiencia trabajando juntos con éxito, el director pidió a los miembros proporcionar los nombres de sus anteriores socios. Esta información se muestra a continuación tanto en una tabla como en un diagrama.
Nombre Ana Bev Cai Dan Ed Flo Gia Hal Ira
Ana
Socios anteriores Dan, Flo Cai, Flo, Hal Bev, Flo Ana, Ed Dan, Hal Cai, Bev, Ana Hal Gia, Ed, Bev, Ira Hal
Bev Ira Hal Cai Gia Dan
Flo
Ed
Del diagrama, es fácil ver que Bev, Cai y Flo, son un grupo de tres socios anteriores y así se debe formar uno de estos equipos. La figura en la página siguiente muestra el resultado cuando se eliminan estos tres nombres del diagrama. 625