CAPÍTULO
5
SUCESIONES, INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y RECURRENCIA
Una de las tareas más importantes de las matemáticas es descubrir y caracterizar patrones regulares, tales como los relacionados con los procesos que se repiten. La principal estructura matemática que se utiliza en el estudio de los procesos que se repiten es la sucesión y la principal herramienta matemática que se usa para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la inducción matemática. En este capítulo se introduce la notación y terminología de las sucesiones, se muestra cómo utilizar tanto la inducción matemática común como la fuerte para demostrar propiedades de las sucesiones, se ilustra cómo surgen diversas formas de sucesiones definidas recursivamente, se describe un método para obtener una fórmula explícita para una sucesión definida de forma recursiva y se explica cómo comprobar la exactitud de esa fórmula. También analizamos un principio, el principio del buen orden de los números enteros que es lógicamente equivalente a las dos formas de inducción matemática y mostramos cómo adaptar la inducción matemática para demostrar la exactitud de los algoritmos de computadora. En la última sección se analizan definiciones recursivas más generales, como la que se utiliza para la formulación cuidadosa del concepto de expresión booleana y de la idea de función recursiva.
5.1 Sucesiones Un matemático, es como un pintor o poeta, es un fabricante de patrones. —G. H. Hardy, A mathematician’s Apology, 1940
Imagine que una persona decide contar sus antepasados. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos y así sucesivamente, estos números se pueden escribir en un renglón como 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . El símbolo “. . .” se llama puntos suspensivos. Es la abreviatura de “y así sucesivamente”. Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno está etiquetado por un entero que indica su posición en el renglón. Posición en el renglón
1
2
3
4
5
6
7:::
Número de antepasados
2
4
8
16
32
64
128 : : :
El número correspondiente a la posición 1 es 2, lo que equivale a 21. El número correspondiente a la posición 2 es 4, lo que equivale a 22. Para las posiciones 3, 4, 5, 6 y 7, los números 227