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Capítulo 12
12.3
Funciones vectoriales
Velocidad y aceleración Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial. Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.
Velocidad y aceleración Exploración de velocidad Considere el círculo dado por rt
cos t i
sen t j.
(El símbolo v es la letra griega omega.) Use una herramienta de graficación en modo paramétrico para representar este círculo para varios valores de v. ¿Cómo afecta v a la velocidad del punto terminal cuando se traza la curva? Para un valor dado de v, ¿parece ser constante la velocidad? ¿Parece ser constante la aceleración? Explique su razonamiento.
Ahora combinará el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales, a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en el espacio puede desarrollarse de manera similar.) Conforme el objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar las letras f y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x = x(t) y y = y(t). Por tanto, el vector de posición r(t) toma la forma rt
xti
3
−2
Vector de posición
Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que puede usar la primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Recuerde del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considere un punto Q(x(t + ∆t), y(t + ∆t)) que se aproxima al punto P(x(t), y(t)) a lo largo de la curva C dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, como se muestra en la figura 12.11. A medida que ∆t → 0, la dirección del vector PQ (denotada por ∆r) se aproxima a la dirección del movimiento en el instante t. \
2
−3
y t j.
lím
t→0
r r t r t
rt rt
t t
rt rt t
lím
rt
t
rt t
t→0
Si este límite existe, se define como vector velocidad o vector tangente a la curva en el punto P. Observe que éste es el mismo límite usado en la definición de r′(t). Por tanto, la dirección de r′(t) da la dirección del movimiento en el instante t. Además, la magnitud del vector r′(t) r t
x ti
y tj
x t
2
y t
2
da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, puede usar r″(t) para hallar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes. y
y
Vector velocidad en el instante t P C
Δr
Vector velocidad en el instante t
Δt → 0
Exploración
Q
r(t) r(t + Δt) x
Conforme t → 0, Figura 12.11
r se aproxima al vector velocidad. t
x