12.2 Calcular una integral indeďŹ nida En los ejercicios 51 a 56, evalĂşe la integral definida. 1
73.
1
8ti
51.
DerivaciĂłn e integraciĂłn de funciones vectoriales
tj
k dt
t 3j
ti
52.
0
3
t k dt
1 2
53.
a cos t i
a sen t j
4
sec t tan t i
tan t j
2 sen t cos t k dt
2
te t k dt
56.
t 2 j dt
ti
0
57. r t
4e2t i
3et j, r 0
58. r t
3t 2 j
6 t k,
59. r t
32j,
60. r t
4 cos tj
62. r t
r 0
t2 i
te
1 t2
1
e i
2i
r0
i
ut
v t
600 3i 3 sen tk,
t
j
1 j t2
600j, r 0 3k, r 0
r 0 1 2i
r0
k,
(a) Describa la curva. (b) Halle los valores mĂnimo y mĂĄximo de r y r″ .
2j
1 k, r 1 t
j
0 4j
77. Vectores perpendiculares Considere la funciĂłn vec-
torial r(t) = (et sen t)i + (et cos t)j. Demuestre que r(t) y r ″(t) son siempre perpendiculares a cada uno.
k
2i
¿CÓMO LO VE? La gråfica muestra una función vectorial r(t) para 0 ≤ t ≤ 2p y su derivada r′(t) para diferentes valores de t.
63. Derivar Escriba la definiciĂłn de derivada de una funciĂłn vectorial. Describa cĂłmo hallar la derivada de una funciĂłn vectorial y dĂŠ su interpretaciĂłn geomĂŠtrica.
y 4
64. Integrar ÂżCĂłmo encuentra la integral de una funciĂłn vectorial?
Ď€ t=5 6
−5
d rt Âąut dt
r t Âąu t
d wtrt 69. dt
wtr t
d rt dt
rt
71.
d rwt dt
72.
d rt dt
ut
w trt u t
r t
ut
2
−2 −1 −1
Ď€ t=5 4
r t
rt
r t
1
2
Ď€ 4
x
3
−4
(a) Para cada derivada que se muestra en la grĂĄfica, determine si cada componente es positiva o negativa. (b) ÂżEs suave la curva en el intervalo [0, 2p]? Explique su razonamiento. ÂżVerdadero o falso? En los ejercicios 79 a 82, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por quĂŠ o dĂŠ un ejemplo que muestre que es falso. 79. Si una partĂcula se mueve a lo largo de una esfera centrada en el origen, entonces su vector derivada es siempre tangente a la esfera. 80. La integral definida de una funciĂłn vectorial es un nĂşmero real. d rt r t dt 82. Si r y u son funciones vectoriales derivables de t, entonces 81.
r wt w t
t=
−2
66. Usar una derivada La componente z de la derivada de una funciĂłn vectorial u es 0 para t en el dominio de la funciĂłn. ÂżQuĂŠ implica esta informaciĂłn acerca de la grĂĄfica de u? DemostraciĂłn En los ejercicios 67 a 74, demuestre la propiedad. En todos los casos, suponga que r, u y v son funciones vectoriales derivables de t, que w es una funciĂłn real derivable de t, y que c es un escalar. d 67. cr t cr t dt
3
1
65. Usar una derivada Las tres componentes de la derivada de una funciĂłn vectorial u son positivas en t = t0. Describa el comportamiento de u en t = t0.
70.
rt
vt
76. Movimiento de una partĂcula Una partĂcula se mueve en el plano yz a lo largo de la curva representada por la funciĂłn vectorial r(t) = (2 cos t)j + (3 sen t)k.
DESARROLLO DE CONCEPTOS
68.
vt
ut
0
Determinar una antiderivada En los ejercicios 57 a 62, determine r(t) que satisfaga las condiciones iniciales.
61. r t
r t
(a) Use una herramienta de graficaciĂłn para representar r. Describa la curva. (b) Halle los valores mĂnimo y mĂĄximo de r y r″ .
3
et j
ti
u t
vt
74. Si r(t) ⋅ r(t) es una constante, entonces r(t) ⋅ r′(t) = 0.
0
55.
ut
75. Movimiento de una partĂcula Una partĂcula se mueve en el plano xy a lo largo de la curva representada por la funciĂłn vectorial r(t) = (t – sen t)i + (1 – cos t)j.
k dt
0
54.
d rt dt rt
831
d rt dt
ut
r t
u t.