12.2
Derivación e integración de funciones vectoriales
827
Demostración Para demostrar la propiedad 4, sea rt
f1 t i
g1 t j y u t
f2 t i
g2 t j
donde f1, f2, g1 y g2 son funciones derivables de t. Entonces, rt
Exploración Sea r(t) = cos ti + sen tj. Dibuje la gráfica de r(t). Explique por qué la gráfica es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Calcule r(p 4) y r′(p 4). Coloque el vector r′(p 4) de manera que su punto inicial esté en el punto final de r(p 4). ¿Qué observa? Demuestre que r(t) ∙ r(t) es constante y que r(t) ∙ r′(t) = 0 para todo t. ¿Qué relación tiene este ejemplo con la propiedad 7 del teorema 12.2?
ut
f1 t f2 t
g1 t g2 t
y se deduce que d rt dt
ut
f1 t f2 t
f1 t f2 t
f1 t f2 t rt u t
g1 t g2 t
g1 t g2 t r t ut.
g1 t g2 t
f1 t f2 t
g1 t g2 t
Consulte LarsonCalculus.com para el video de Bruce Edwards de esta demostración.
Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (vea los ejercicios 67 a 71 y el ejercicio 74).
Aplicar las propiedades de la derivada
EJEMPLO 4 1 i t
Para r t a.
d rt dt
ut
t2 i
ln tk y u t
j
d ut dt
y b.
k, halle
2tj
u t .
Solución 1 i t2
a. Como r t d rt dt
1 ky u t t
ut rt u t r t 1 i j ln tk t 2
2
3
1 . t
b. Como u t d ut dt
2j, tiene
2ti
u t
2ti
1 k t
t2i
2tj
k
2i, tiene
2j y u t ut i t2 2
u t j 2t 0
2t 0 0i 2j
1 i t2
2j
1 t
1
2ti
ut
u t k 1 0
1 i 0 2j 4tk.
u t
0 t2 2
1 j 0
t2 2
2t k 0
4tk
Haga de nuevo los incisos (a) y (b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos escalar y vectorial, y derivando después para comprobar que obtiene los mismos resultados.