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Capítulo 12
Funciones vectoriales
Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en un punto dado por t = a si el límite de r(t) cuando t → a existe y lím r t
ra.
t→a
Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.
De acuerdo con esta definición, una función vectorial es continua en t = a si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en t = a.
z 16
a = −4
Continuidad de funciones vectoriales
EJEMPLO 5 a=4
14
Analice la continuidad de la función vectorial rt
12
ti
a2
aj
t2 k
a es una constante.
cuando t = 0.
10
Solución
8
Cuando t tiende a 0, el límite es
lím r t
6
lím t i
t→0
t→0
t→0
t→0
t2 k
aj a 2 k a 2k.
0i aj
4
lím a 2
lím a j
2
Como
−4
2
4
y
r0
x
a=0 a = −2
a=2
Para todo a, la curva representada por la función vectorial t i aj a2 t2 k rt es una parábola. Figura 12.7
TECNOLOGÍA
Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente difícil. El problema consiste en crear la impresión de tres dimensiones. Las herramientas de graficación usan diversas técnicas para dar la “impresión de tres dimensiones” en gráficas de curvas en el espacio: una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.
a2 k
0i aj 2 aj a k
4
puede concluir que r es continua en t = 0. Mediante un razonamiento similar, concluye que la función vectorial r es continua para todo valor real de t. Para cada valor de a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5, rt
ti
a2
aj
t2 k
a es una constante.
es una parábola. Usted puede imaginar cada una de estas parábolas como la intersección del plano vertical con el paraboloide hiperbólico y2
x2
z
como se muestra en la figura 12.7.
Continuidad de funciones vectoriales
EJEMPLO 6
Determine los intervalo(s) en los cuales la función vectorial rt
ti
t
1j
t2
1k
es continua. t, g t t 1 y ht Solución Las funciones componentes son f t t 2 1 . Tanto f como h son continuas para todos los valores de t. Sin embargo, la función g es continua sólo para t ≥ –1. Por lo que r es continua en el intervalo [–1, f).