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Capítulo 10
Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 7
Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola
Consulte LarsonCalculus.com para leer más acerca de esta biografía.
Trace la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2
y2
Solución x2 4
16.
Para empezar, escriba la ecuación en la forma estándar o canónica.
y2 16
1
El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en (–2, 0) y (2, 0). Los extremos del eje conjugado se encuentran en (0, –4) y (0, 4). Con estos cuatro puntos, puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16(a). Al dibujar las asíntotas a través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16(b). y
TECNOLOGÍA
Para verificar la gráfica obtenida en el ejemplo 7 puede emplear una herramienta de graficación y despejar y de la ecuación original para representar gráficamente las ecuaciones siguientes. y1 y2
y
6
6
(0, 4) 4
(− 2, 0)
x2 y2 − =1 4 16
(2, 0) x
−6
−4
4x2 16 4x2 16
4
x
−6
6
−4
4
6
−4
(0, −4) −6
−6
(a)
(b)
Figura 10.16
Definición de la excentricidad de una hipérbola La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente e
PARA INFORMACIÓN ADICIONAL
Para leer acerca del uso de una cuerda que traza arcos, tanto elípticos como hiperbólicos, teniendo los mismos focos, vea el artículo “Ellipse to Hyperbola: With This String I Thee Wed”, de Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian, en Mathematics Magazine. Para ver este artículo vaya a MathArticles.com.
c . a
Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e = c a. Dado que en la hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17. La excentricidad es grande.
y
y
La excentricidad se acerca a 1.
Vértice Foco
Vértice Foco
c e= a
Foco
Foco Vértice
x
x
e= c
Vértice
c a
a c
a
Figura 10.17