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Capítulo 1
1.1
Límites y sus propiedades
Una mirada previa al cálculo Comprender lo que es el cálculo y cómo se compara con el precálculo. Comprender que el problema de la recta tangente es básica para el cálculo. Comprender que el problema del área también es básico para el cálculo.
¿Qué es el cálculo? COMENTARIO A medida que vaya avanzando en este curso, le conviene recordar que el aprendizaje de cálculo es sólo uno de sus fines. Su objetivo más importante es aprender a utilizar el cálculo para modelar y resolver problemas reales. En seguida se presentan algunas estrategias de resolución de problemas que pueden ayudar. • Asegúrese de entender la pregunta. ¿Cuáles son los datos? ¿Qué se le pide encontrar? • Conciba un plan. Existen muchos métodos que se pueden utilizar: hacer un esquema, resolver un problema sencillo, trabajar hacia atrás, dibujar un diagrama, usar recursos tecnológicos y muchos otros. • Ejecute el plan. Asegúrese de que responde la pregunta. Enuncie la respuesta en palabras. Por ejemplo, en vez de escribir la respuesta como x = 4.6, sería mejor escribir: “El área de la zona es 4.6 metros cuadrados”. • Revise el trabajo. ¿Tiene sentido la respuesta? ¿Existe alguna forma de comprobar lo razonable de su respuesta?
El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto de cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros y economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas del precálculo también tratan con velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, el cálculo es más dinámico. He aquí algunos ejemplos. • Las matemáticas del precálculo permiten analizar un objeto que se mueve con velocidad constante. Sin embargo, para analizar la velocidad de un objeto sometido a aceleración es necesario recurrir al cálculo. • Las matemáticas del precálculo permiten analizar la pendiente de una recta, pero para analizar la pendiente de una curva es necesario el cálculo. • Las matemáticas del precálculo permiten analizar la curvatura constante de un círculo, pero para analizar la curvatura variable de una curva general es necesario el cálculo. • Las matemáticas del precálculo permiten analizar el área de un rectángulo, pero para analizar el área bajo una curva general es necesario el cálculo. Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: la reformulación de las matemáticas del precálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera de responder a la pregunta “¿qué es el cálculo?”, consiste en decir que el cálculo es una “máquina de límites” que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas del precálculo, con conceptos como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo. La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo en términos de derivadas e integrales. Matemáticas de precálculo
Proceso de límite
Cálculo
Por desgracia, algunos estudiantes tratan de aprender cálculo como si se tratara de una simple recopilación de fórmulas nuevas. Si se reduce el estudio de cálculo a la memorización de fórmulas de derivación y de integración, su comprensión será deficiente, el estudiante perderá confianza en sí mismo y no obtendrá satisfacción. En las dos páginas siguientes se presentan algunos conceptos familiares del precálculo, listados junto con sus contrapartes del cálculo. A lo largo del texto se debe recordar que el objetivo es aprender a utilizar las fórmulas y técnicas del precálculo como fundamento para producir las fórmulas y técnicas más generales del cálculo. Quizás algunas de las “viejas fórmulas” de las páginas siguientes no resulten familiares para algunos estudiantes; repasaremos todas ellas. A medida que avance en el libro, se sugiere volver a leer estos comentarios repetidas veces. Es importante saber en cuál de las tres etapas del estudio del cálculo se encuentra. Por ejemplo, los tres primeros capítulos se desglosan como sigue. Capítulo P: Preparación para el cálculo Precálculo Capítulo 1: Límites y sus propiedades Proceso de límite Capítulo 2: Derivación Cálculo Este ciclo se repite muchas veces en una escala menor en todo el libro.