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Capítulo 1
1.1
Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Reconocer sistemas de ecuaciones lineales de n variables. Encontrar una representación paramétrica de un conjunto solución. Determinar cuándo un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente. Utilizar la sustitución hacia atrás para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
ECUACIONES LINEALES EN n VARIABLES El estudio del álgebra lineal requiere que el estudiante esté familiarizado con álgebra, geometría analítica y trigonometría. Ocasionalmente encontrará ejemplos y ejercicios que requieran conocimientos de cálculo; estos se señalan claramente en el texto. Al comenzar con el estudio del álgebra lineal, descubrirá que muchos de los métodos implican docenas de pasos aritméticos, así que es esencial revisar constantemente su trabajo. Puede utilizar una computadora o calculadora para revisar su trabajo, así como para ejecutar muchos de los cálculos de rutina en el álgebra lineal. Aunque algún material de este primer capítulo le resultará familiar, es recomendable que estudie cuidadosamente los métodos presentados aquí. Así, cultivará y aclarará su intuición para el material más abstracto que se presentará después. Recuerde de su curso de geometría analítica que la ecuación de la recta en un espacio de dos dimensiones, tiene la forma a1x
a2 y
b,
a1, a2 y b son constantes.
Esta es una ecuación lineal en dos variables x y y. De la misma manera, la ecuación de un plano en un espacio de tres dimensiones tiene la forma a1x
a2y
a3 z
b,
a1, a2, a3 y b son constantes.
Esta ecuación se denomina ecuación lineal en tres variables x, y y z. En general, una ecuación lineal en n variables se define de la siguiente manera.
COMENTARIO Para representar constantes se utilizan las primeras letras del alfabeto y las variables se representan con las últimas letras de éste.
Definición de una ecuación lineal en n variables Una ecuación lineal en n variables x1, x2, x3, . . . , xn tiene la forma a1x 1 a 2 x 2 a3 x 3 . . . an x n b. Los coeficientes a1, a2, a3, . . . , an son números reales y el término constante b es un número real. El número a1 es el coeficiente principal y x1 es la variable principal. Las ecuaciones lineales no tienen productos o raíces de variables; tampoco variables que aparezcan en funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las variables aparecen elevadas sólo a la primera potencia. El ejemplo 1 lista algunas ecuaciones lineales y algunas que no lo son.
EJEMPLO 1
Ejemplos de ecuaciones lineales y no lineales
Cada ecuación es lineal. a) 3x
2y
7
1
b) 2 x
y
z
2
c) sen
x1
4x 2
e2
Las siguientes ecuaciones no son lineales. a) xy
z
2
b) e x
2y
4
c) sen x 1
2x 2
3x 3
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