5.2
Espacios con producto interno
243
PROYECCIONES ORTOGONALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Sean u y v vectores en R2. Si v es diferente de cero, entonces se puede proyectar ortogonalmente u sobre v, como se muestra en la figura 5.11. Esta proyección se denota por proyvu. Dado que proyvu es un múltiplo escalar de v, podemos escribir proyvu
av.
Si a ⬎ 0, como se muestra en la figura 5.11(a), entonces cos u ⬎ 0 y la longitud de proyvu es av
a v
av
lo cual implica que a
u
u cos
u
v
v
2
u
v cos u v v v v v v . Así,
u v v. v v Si a ⬍ 0, como se muestra en la figura 5.11(b), entonces puede demostrarse que la proyección ortogonal de u sobre v es la misma fórmula. (Verifique esto.) proyvu
b.
a.
u
u
y
(3, 4)
4
θ
v
(
3
12 , 16 5 5
)
θ v
v
proyvu = av, a < 0
proyvu = av, a > 0
Figura 5.11
proyvu 2
(4, 2)
EJEMPLO 9
u
1
En R2, la proyección ortogonal de u ⫽ (4, 2) sobre v ⫽ (3, 4) está dada por
x 1
2
3
Obtención de la proyección ortogonal de u sobre v
4
proyvu
Figura 5.12
u v v v v
4, 2 3, 4
3, 4 3, 4 3, 4
20 3, 4 25
12 16 , 5 5
como se muestra la figura 5.12. Una proyección ortogonal en un espacio con producto interno general se define como sigue.
COMENTARIO Si v es un vector unitario, entonces v, v ⫽ v 2 ⫽ 1 y la fórmula para la proyección ortogonal de u sobre v toma la forma más simple
proyvu
Definición de proyección ortogonal Sean u y v vectores en un espacio V con producto interno, tal que v ⴝ 0. Entonces, la proyección ortogonal de u sobre v está dada por u, v proyvu v. v, v
u, v v.
z 4
EJEMPLO 10 2
(6, 2, 4)
4 (1, 2, 0) x
6
Figura 5.13
Utilice el producto interno euclidiano, en R3, para encontrar la proyección ortogonal de u ⫽ (6, 2, 4) sobre v ⫽ (1, 2, 0).
u 2
Determinación de la proyección ortogonal en R3
v 2
proyvu (2, 4, 0)
y
SOLUCIÓN Como u ∙ v ⫽ 10 y v 2 ⫽ v ∙ v ⫽ 5, la proyección ortogonal de u sobre v es proyvu
u v v v v
10 1, 2, 0 5
como se muestra en la figura 5.13.
2 1, 2, 0
2, 4, 0