242
Capítulo 5
Espacios con producto interno El teorema 5.8 enumera las versiones del producto interno en espacios generales para la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad del triángulo y el teorema de Pitágoras.
TEOREMA 5.8 Sean u y v vectores en un espacio V con producto interno. u v 1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: u, v 2. Desigualdad del triángulo: u v u v 3. Teorema de Pitágoras: u y v son ortogonales si y sólo si u
v
2
2
u
v 2.
Las demostraciones de estos tres axiomas son semejantes a las de los teoremas 5.4, 5.5 y 5.6. Simplemente se sustituye u, v por el producto interno euclidiano u ∙ v.
Ejemplo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (cálculo)
EJEMPLO 8
Sean f(x) ⫽ 1 y g(x) ⫽ x funciones en el espacio vectorial C[0, 1], con el producto interno definido en el ejemplo 5. Compruebe que ⬍ f, g⬎ ⱕ f g . SOLUCIÓN Para el lado izquierdo de esta desigualdad tenemos 1
f, g
1
f x g x dx
x2 2
x dx
0
0
1
1 . 2
0
Para el lado derecho de la desigualdad se tiene 1
f
2
1
f x f x dx
1
dx
0
x
1 0
0
y 1
g
2
1
x3 3
x 2 dx
g x g x dx 0
0
1
1 . 3
0
Por consiguiente, f
g
ÁLGEBRA LINEAL APLICADA
1
1 3
1 3
0.577 y
f, g
f
g .
El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros para determinar la energía necesaria para realizar diversas labores. Si una fuerza constante F actúa en un ángulo u con la recta de movimiento de un objeto para mover el objeto del punto A al punto B (véase la Figura a continuación), entonces el trabajo W hecho por la fuerza está dado por \
W
cos
F
AB
\
F
AB
\
Donde AB representa el segmento de recta dirigido de A hacia B. La cantidad (cos u) F es la longitud de la proyección ortogonal de F sobre AB . Las proyecciones ortogonales se discuten en la siguiente página. \
F
θ Andrew Lundquist/Shutterstock.Com
A
B