5.2
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Espacios con producto interno
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Espacios con producto interno Determinar si una función define un producto interno y encontrar el producto interno de dos vectores en Rn, Mm,n, Pn y C[a, b]. Encontrar una proyección ortogonal de un vector sobre otro vector en un espacio de producto interno.
PRODUCTO INTERNO En la sección 5.1 se ampliaron de R2 a Rn los conceptos de longitud, distancia y ángulo. En esta sección se extienden los conceptos mencionados en un paso más: a espacios vectoriales en general. Esto se lleva a cabo por medio del concepto de producto interno de dos vectores. Ya tenemos un ejemplo de un producto interno: el producto punto en Rn. Este producto, llamado producto interno euclidiano, es sólo uno de varios productos internos que es posible definir en Rn. Para distinguir entre el producto interno estándar y otros posibles productos internos, se usa la siguiente notación. u v u, v
producto punto (producto interno euclidiano para Rn) producto interno general para el espacio vectorial V.
Para definir un producto interno general se procede casi de la misma manera como se definió un espacio vectorial general. Es decir, se enumera una serie de axiomas que deben satisfacerse para que una función pueda calificarse como un producto. Los axiomas son paralelos a las propiedades 1, 2, 3 y 5 del producto punto dadas en el teorema 5.3.
Definición de producto interno Sea u, v y w vectores en un espacio vectorial y sea c cualquier escalar. Un producto interno en V es una función que asocia un número real u, v con cada par de vectores u y v que cumplen los siguientes axiomas. 1. u, v v, u 2. u, v w u, v u, w 3. c u, v cu, v 4. v, v 0 y v, v 0 si y sólo si v 0. Un espacio vectorial V con un producto interno se llama espacio con producto interno. Siempre que hagamos referencia a un espacio con producto interno, supondremos que el conjunto de escalares es el conjunto de los números reales.
EJEMPLO 1
El producto interno euclidiano para Rn
Demuestre que el producto punto en Rn satisface los cuatro axiomas de un producto interno. SOLUCIÓN En Rn, el producto punto de dos vectores u ⫽ (u1, u2, . . . , un) y v ⫽ (v1, v2, . . . , vn) es u
v
u 1v1
u 2v2
. . .
u nvn.
Por el teorema 5.3 sabemos que este producto satisface los cuatro axiomas requeridos, lo que verifica que es un producto interno en Rn. El producto interno euclidiano no es el único producto interno que puede definirse en Rn. En el ejemplo 2 se ilustra un producto interno distinto. Observe que para demostrar que una función es un producto interno es necesario demostar que se satisfacen los cuatro axiomas del producto interior.