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Capítulo 5
Espacios con producto interno
PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES A menudo resulta útil representar un vector u ⫽ (u1, u2, . . . , un) en Rn como una matriz columna de n ⫻ 1. En esta notación, el producto punto de dos vectores u1 u2 . . . un
u
y
v1 v2 . . . vn
v
puede representarse como la matriz producto de la transpuesta de u multiplicada por v.
u
uTv
v
v1 v2 . . . vn
u1 u2 . . . un
u1v1
u2v2
. . .
unvn
Utilización de una multiplicación matricial para encontrar productos punto
EJEMPLO 11
a. El producto punto de los vectores 2 0
u es u
v
y
uTv
v
3 1
2 0
3 1
2 3
0 1
6.
1 3
2
b. Por ejemplo, el producto de los vectores 1 2 1
u
es u
v
T
u v
y
3 2 4
v
1
2
1
3 2 4
2
1 4
5.
De esta manera, muchas de las propiedades del producto punto son consecuencia directa de las propiedades correspondientes de la multiplicación de matrices. En el ejercicio 85 se le pide utilizar las propiedades de la multiplicación matricial para demostrar las primeras tres propiedades del Teorema 5.3.
ÁLGEBRA LINEAL APLICADA
Los ingenieros eléctricos pueden usar el producto punto para calcular el flujo eléctrico o magnético, el cual es una medida de la potencia de un campo eléctrico o magnético que penetra en una superficie. Considere una superficie de forma arbitraria con un elemento de área dA, un vector normal (perpendicular) dA, un vector de campo eléctrico E y un vector de campo magnético B. El flujo eléctrico ⌽e se puede encontrar al usar la integral de superficie ⌽e ⫽ 0 E ∙ dA y el flujo magnético ⌽m se puede encontrar al usar la integral de superficie ⌽m ⫽ 0 B ∙ dA. Es interesante notar que para una superficie cerrada dada que rodea a una carga eléctrica, el flujo eléctrico neto es proporcional a la carga, pero el flujo magnético neto es cero. Esto se debe a que los campos eléctricos inician en cargas positivas y terminan en cargas negativas, pero los campos magnéticos forman bucles cerrados, por lo que no inician o terminan en ningún punto. Esto significa que el campo magnético que entra en una superficie cerrada debe ser igual al campo magnético que abandona la superficie cerrada. Awe Inspiring Images/Shutterstock.Com