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Capítulo 5
5.1
Espacios con producto interno
Longitud y producto punto en Rn Determinación de la longitud de un vector y determinación de un vector unitario. Determinación de la distancia entre dos vectores. Determinación de producto punto y el ángulo entre dos vectores, determine ortogonalidad y verificar la Desigualdad de CauchySchwarz, la desigualdad del triángulo y el teorema de Pitágoras. Utilizar un producto matricial para representar un producto punto.
LONGITUD VECTORIAL Y VECTORES UNITARIOS (v1, v2) ⎥⎪v⎥⎪
⎪v 2⎥
⎪v 1⎥ ⎥⎪v⎥⎪ =
v12 + v22
En la sección 4.1 se mencionó que los vectores en el plano pueden caracterizarse como segmentos de recta dirigidos con cierta longitud y dirección. En esta sección se usa R2 como modelo para definir estas otras propiedades geométricas (como distancia y ángulo) de vectores en Rn. Luego, en la siguiente sección, estos conceptos se extienden a espacios vectoriales en general. Podemos comenzar por revisar la definición de la longitud de un vector en R2. Si v ⫽ (v1, v2) es un vector en el plano, entonces la longitud o magnitud de v, denotada por v , se define como v v21 v22. Esta definición corresponde al concepto usual de longitud en geometría euclidiana. Es decir, el vector v es considerado como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes v1 y v2 , como se muestra en la figura 5.1. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos v 2 v1 2 v2 2 v21 v22.
Figura 5.1
COMENTARIO
Usando R2 como modelo, la longitud de un vector en Rn se define como sigue.
La longitud de un vector también se llama norma. Si v ⫽ 1, entonces el vector v se llama vector unitario.
Definición de longitud de un vector en Rn La longitud o magnitud de un vector v ⫽ (v1, v2, . . . , vn) en R v v21 v22 . . . v2n. Esta definición muestra que la longitud de un vector no puede ser negativa. Es decir, v ⱖ 0. Además, v ⫽ 0 si y sólo si v es el vector 0.
z
Longitud de un vector en Rn
EJEMPLO 1 v
a. En R5, la longitud de v ⫽ (0, –2, 1, 4, –2) es v 02 2 2 12 42 22 3
b. En R , la longitud de v y
x
v=
(
2 ,− 2 , 17 17
Figura 5.2
3 17
)
v
2
17
2
2
17, 2
17
2 2
25
17, 3 3 17
5.
17 es 2
17 17
1.
Dado que su longitud es 1, v es un vector unitario, como se observa en la figura 5.2. Cada vector en la base estándar de Rn es de longitud 1 y se llama vector unitario estándar en Rn. En física e ingeniería es común denotar los vectores unitarios estándares en R2 y R3 como sigue. i, j 1, 0 , 0, 1 i, j, k 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 . y Dos vectores u y v en Rn diferentes de cero son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro; es decir, u ⫽ cv. Además, si c ⬎ 0, entonces u y v tienen la misma dirección; si c ⬍ 0, u y v tienen direcciones opuestas. El siguiente teorema da una fórmula para determinar la longitud de un múltiplo escalar de un vector.