1.2
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Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan
Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan Determine el tamaño de una matriz y escriba una matriz aumentada o por coeficientes a partir de un sistema de ecuaciones lineales. Use matrices y eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Use matrices y la eliminación Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resuelva un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
MATRICES
COMENTARIO El plural de matriz es matrices. Si cada elemento de la matriz es un número real, entonces la matriz se denomina matriz real. A menos que se indique lo contrario, todas las matrices de este texto son reales.
En la sección 1.1 la eliminación Gaussiana fue introducida como un procedimiento para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección usted estudiará este procedimiento con mayor profundidad, empezando por algunas definiciones. La primera es la definición de matriz.
Definición de matriz Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz m ⫻ n (que se lee como “m por n”) es un arreglo rectangular Columna 1
Columna 2
Columna 3
. . .
Columna n
a11 a21 a31 .. . am1
a12 a22 a32 .. . am2
a13 a23 a33 .. . am3
. . . . . . . . .
a1n a2n a3n .. . amn
Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 . . . Renglón m
. . .
en el cual cada elemento aij de la matriz es un número. Una matriz m ⫻ n tiene m renglones (líneas horizontales) y n columnas (líneas verticales). Las matrices usualmente se denotan con letras mayúsculas. El elemento aij está ubicado en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna. i se denomina subíndice del renglón porque identifica la línea horizontal en la cual se ubica el elemento y el subíndice j se denomina subíndice de la columna porque identifica la línea vertical en la que se encuentra el elemento. Se dice que una matriz con m renglones y n columnas es de tamaño m ⫻ n. Si m ⫽ n, entonces la matriz se llama cuadrada de orden n. Los elementos a11, a22, a33, . . . se denominan elementos de la diagonal principal.
EJEMPLO 1
Tamaños de matrices
Cada matriz tiene indicado el tamaño. a) Tamaño: 1
COMENTARIO Comience alineando verticalmente las variables en las ecuaciones. Use 0 para indicar coeficientes de cero en la matriz. Considere la cuarta columna de términos constantes en la matriz aumentada.
1 2
b) Tamaño: 2
2
0 0 0 0
c) Tamaño: 2
e
3
2 2
7 4
El uso más común de las matrices es para representar un sistema de ecuaciones lineales. La matriz obtenida de los coeficientes y términos constantes de un sistema de ecuaciones lineales se denomina matriz aumentada del sistema. A la matriz que sólo contiene los coeficientes del sistema se le llama matriz de coeficientes del sistema. He aquí un ejemplo. Sistema
x x 2x
4y 3y
3z z 4z
Matriz aumentada
5 3 6
1 1 2
4 3 0
3 1 4
Matriz de coeficientes
5 3 6
1 1 2
4 3 0
3 1 4