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Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales Debido a que se requieren muchos pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, es muy fácil cometer errores aritméticos; es por ello que se sugiere fomentar el hábito de comprobar la solución sustituyéndola en cada una de las ecuaciones del sistema original. Así, en el ejemplo 7, puede comprobar la solución x ⫽ 1, y ⫽ ⫺1 y z ⫽ 2 como sigue. Ecuación 1: 1 Ecuación 2: 1 Ecuación 3: 2 1
2 3 5
1 1 1
32 52
9 4 17
Sustituya la solución en cada ecuación del sistema original.
El siguiente ejemplo implica un sistema inconsistente, o que no tiene solución. La clave para identificar un sistema inconsistente es que, en algún punto del proceso de eliminación, se obtendrá un resultado sin sentido como 0 ⫽ –2. Esto se demuestra en el ejemplo 8.
EJEMPLO 8
Un sistema inconsistente
Resuelva el sistema. x1 2x 1 x1
3x 2 x2 2x 2
SOLUCIÓN x 1 3x 2 5x 2 x 1 2x 2 x1
3x 2 5x 2 5x 2
x3 2x 3 3x 3
1 2 1
x3 4x 3 3x 3
1 0 1
Sumando –2 veces la primera ecuación a la segunda ecuación, generamos una nueva segunda ecuación.
x3 4x 3 4x 3
1 0 2
Sumando –1 veces la primera ecuación a la tercera ecuación, producimos una nueva tercera ecuación.
(Otra manera de describir esta operación es decir que de la tercera ecuación se restó la primera para obtener una nueva tercera ecuación.) x1
3x 2 5x 2
x3 4x 3 0
1 0 2
Sumando –1 veces la segunda ecuación a la tercera ecuación, producimos una nueva tercera ecuación.
Ya que la tercera “ecuación” es falsa, este sistema no tiene solución. Además, debido a que es equivalente al sistema original, podemos concluir que éste tampoco tiene solución. x1 + 2x2 − 3x3 = −1
Como en el ejemplo 7, las tres ecuaciones del ejemplo 8 representan planos en un sistema coordenado tridimensional. En este ejemplo, sin embargo, el sistema es inconsistente. Así, los planos no tienen un punto en común, como se muestra en la Figura 1.3.
x1 − 3x2 + x3 = 1 x3
x1
x2
2x1 − x2 − 2x3 = 2
Figura 1.3