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Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales
RESOLVIENDO UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ¿Cuál de los siguientes sistemas es más fácil de resolver algebraicamente? x x 2x
2y 3y 5y
3z
x
9 4 17
5z
2y y
3z 3z z
9 5 2
El sistema de la derecha es el más fácil de resolver. Este sistema está en la forma escalonada por renglones, lo cual significa que sigue un patrón escalonado y que tiene coeficientes principales iguales a 1. Para resolver este sistema se aplica un procedimiento denominado sustitución hacia atrás.
Uso de la sustitución hacia atrás para resolver un sistema de forma escalonada por renglones
EJEMPLO 5
Utilice la sustitución hacia atrás para resolver el sistema. x
2y y
5 2
Ecuación 1 Ecuación 2
SOLUCIÓN De la Ecuación 2 usted sabe que y ⫽ ⫺2. Al sustituir este valor en la Ecuación 1, obtiene x
2
2 x
Sustituya ⫺2 ⫽ y Resuelva para x
5 1.
Así, el sistema tiene exactamente una solución x ⫽ 1 y y ⫽ ⫺2. El término “sustitución hacia atrás” implica que se trabaja en retrospectiva. Así, en el Ejemplo 5, la segunda ecuación generó el valor de y. El Ejemplo 6 demuestra este procedimiento. Se sustituye entonces ese valor en la primera ecuación y se resuelve para x.
Uso de la sustitución hacia atrás para resolver un sistema de forma escalonada por renglones
EJEMPLO 6
Resuelva el siguiente sistema. x
2y y
3z 3z z
9 5 2
Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3
SOLUCIÓN De la Ecuación 3, conoce el valor de z. Para resolver para y, sustituya z ⫽ 2 en la ecuación 2 para obtener y
32 y
Sustituya z ⫽ 2 Resuelva para y
5 1.
Finalmente, sustituya y ⫽ ⫺1 y z ⫽ 2 en la ecuación 1 para obtener x
2
1
32 x
9 1.
Sustituya y ⫽ ⫺ 1, z ⫽ 2 Resuelva para x
La solución es x ⫽ 1, y ⫽ ⫺1 y z ⫽ 2. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Para resolver un sistema que no esté en la forma escalonada por renglones, primero se transforma a un sistema equivalente que esté en la forma escalonada por renglones mediante las siguientes operaciones.