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Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales es lineal en las mismas n variables:
COMENTARIO La notación con doble subíndice indica que aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.
a11x 1 a21x 1 a31x 1
a12x 2 a22x 2 a32x 2
a13x 3 a23x 3 a33x 3
. . . . . . . . .
a1nx n a2nx n a3nx n
b1 b2 b3
am1x 1
am2x 2
am3x 3
. . .
amnx n
bm.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión de números s1, s2, s3, . . . , sn que es solución de cada una de las ecuaciones lineales del sistema. Por ejemplo, el sistema 3x 1 x1
2x 2 x2
3 4
tiene a x1 ⫽ ⫺1 y x2 ⫽ 3 como una solución debido a que ambas ecuaciones se cumplen cuando x1 ⫽ ⫺1 y x2 ⫽ 3. Por otra parte, x1 ⫽ 1 y x2 ⫽ 0 no es una solución del sistema, ya que estos valores sólo satisfacen la primera ecuación.
D ES C U BR I M I E NTO Grafique las dos rectas 3x 2x
y y
1 0
en el plano x-y. ¿En dónde se intersectan? ?Cuántas soluciones tiene este sistema de ecuaciones? Repita este análisis para el par de rectas 3x 3x
y y
3x 6x
y 2y
1 0
y 1 2.
En general, ?qué tipos básicos de conjunto solución son posibles para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?
ÁLGEBRA LINEAL APLICADA
En una reacción química, los átomos se reorganizan en una o más sustancias. Por ejemplo, cuando el metano (CH4) se combina con oxígeno (O2) y se quema, se forman dióxido de carbono (CO2) y agua (H2O). Los químicos representan este proceso con una ecuación química de la forma
x1 CH4
x2 O2 → x3 CO2
x4 H2O.
Puesto que una reacción química no puede crear o destruir átomos, todos los átomos representados a la izquierda de la flecha deben ser considerados también a la derecha. Esto se llama balance de la ecuación química. En el ejemplo dado, los químicos pueden usar un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de x1, x2, x3 y x4 que balanceen la ecuación química. Elnur/www.shutterstock.com