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Unidad 1
1.1
Números complejos
Números complejos Iniciemos esta sección considerando la ecuación general cuadrática con coeficientes reales ax2 bx c 0 El teorema fundamental del álgebra nos garantiza que por ser una ecuación de grado dos, tendrá exactamente dos raíces. Se sabe, por completación de cuadrados, que dichas dos raíces son x=
−b ± b 2 − 4ac 2a
Expresión conocida como la fórmula general de la ecuación cuadrática. La expresión I b2 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se sabe que si I 0 existen dos raíces reales diferentes; si I 0 existen dos raíces reales repetidas. Una manera de abordar el estudio de los números complejos es considerar las raíces de la ecuación para el caso restante I 0. Consideremos la ecuación cuadrática x2 1 0. Algebraicamente se puede verificar — que la solución debe satisfacer x2 1 o de manera equivalente x2 ! 1. Esto nos permite introducir la definición de la unidad imaginaria i.
Definición 1.1
La unidad imaginaria i
Se define la unidad imaginaria i como el número imaginario que satisface i2 1 — o bien i ! 1.
Esta definición nos permite resolver el caso I 0 de la ecuación cuadrática, porque bajo esta condición se tienen las dos raíces x=
−b ± − ( b 2 − 4ac ) 2a
agrupar
x=
−b ± −1 b 2 − 4ac 2a
Separar radicando
x=
−b ± b 2 − 4ac i 2a
utilizar i2 1
EJEMPLO 1
Raíces complejas de una ecuación cuadrática
Para la ecuación x − 8x + 25 = 0, se tienen los valores a 5 1, b 5 28 y c 5 25. Al aplicar la fórmula general tenemos x=
−(−8) ± (−8)2 − 4(1)(25) 2(1)
sustituir
x=
8 ± −36 2
simplificar
x=
8 ± 6i 2
utilizar i2 1
De donde x1 = 4 + 3i y x 2 = 4 − 3i.
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