3.1 • Resolución de ecuaciones de primer grado
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Para resolver ecuaciones es necesario usar las diversas propiedades de la igualdad. Propiedad 3.1 Propiedades de la igualdad Para todos los números reales a, b y c, 1. a 5 a Propiedad reflexiva 2. Si a 5 b, entonces b 5 a. Propiedad simétrica 3. Si a 5 b y b 5 c, entonces a 5 c. Propiedad transitiva 4. Si a b, entonces a puede ser reemplazada por b o b puede ser reemplazada por a, en cualquier enunciado, sin cambiar el significado del mismo. Propiedad de sustitución El procedimiento general para resolver una ecuación es continuar sustituyendo la ecuación dada con ecuaciones equivalentes, pero más simples, hasta obtener una ecuación de la forma variable = constante o constante variable. En consecuencia, en el ejemplo anterior, 5x 4 3x 8 se simplificó a 2x 12, que se simplificó aún más a x 6, a partir de lo cual es obvio que 6 es la solución. A continuación veremos el procedimiento exacto para simplificar ecuaciones. Dos propiedades de igualdad juegan un papel importante en el proceso de resolver ecuaciones. La primera de éstas es la propiedad aditiva de la igualdad. Propiedad 3.2 Propiedad aditiva de la igualdad Para todos los números reales, a, b y c, 1. a 5 b si y sólo si a 1 c 5 b 1 c. 2. a 5 b si y sólo si a 2 c 5 b 2 c. La propiedad 3.2 afirma que, cuando el mismo número se suma o resta a ambos lados de una ecuación, se produce una ecuación equivalente. Considere usar esta propiedad en los siguientes cuatro ejemplos. Ejemplo de salón de clases Resolver d 7 11.
EJEMPLO 1
Resolver x 8 3.
Solución x2853 x28185318 x 5 11
Sumar a ambos lados de la igualdad el inverso aditivo de 8 que es 8
El conjunto solución es {11} Comentario: Es cierto que una ecuación tan simple como la del ejemplo 1 puede ser resuelta
por medio de inspección; por ejemplo, “algún número menos 8 produce 3” tiene como respuesta obvia al 11. Sin embargo, conforme las ecuaciones se vuelven más complejas, la técnica de resolución por medio de inspección se vuelve poco o nada efectiva. Así que es necesario desarrollar técnicas más formales para resolver ecuaciones. Por ende, comenzaremos a desarrollar tales técnicas con ecuaciones muy simples. Ejemplo de salón de clases Resolver m 12 4.
EJEMPLO 2
Resolver x 14 8.
Solución x 1 14 5 28 x 1 14 2 14 5 28 2 14 x 5 222 El conjunto solución es { 22}.
Sumar a ambos lados de la igualdad el inverso aditivo de 14 que es 14