10
Capítulo 1 • Algunos conceptos básicos de aritmética y álgebra
Ejemplo de salón de clases Hallar el máximo común divisor de 50 y 105.
EJEMPLO 2
Hallar el máximo común divisor de 21 y 75.
Solución 21 3 7 75 3 5 5 Ya que sólo tienen un 3 en común, el máximo común divisor es 3.
Ejemplo de salón de clases Hallar el máximo común divisor de 18 y 35.
EJEMPLO 3
Hallar el máximo común divisor de 24 y 35.
Solución 24 2 2 2 3 35 5 7 Ya que no hay factores primos en común, el máximo común divisor es 1.
El concepto de máximo común divisor puede extenderse a más de dos números, como se demuestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo de salón de clases Hallar el máximo común divisor de 70, 175 y 245.
EJEMPLO 4
Hallar el máximo común divisor de 24, 56 y 120.
Solución 24 2 2 2 3 56 2 2 2 7 120 2 2 2 3 5 Ya que tienen en común tres 2, el máximo común divisor de 24, 56 y 120 es 2 2 2 8.
Mínimo común múltiplo Sabemos que 35 es un múltiplo de 5 porque 5 7 35. El conjunto de todos los números que son múltiplos de 5 consiste de 0, 5, 10, 15, 20, 25, etc. En otras palabras, 5 veces cada número entero sucesivo (5 0 0, 5 1 5, 5 2 10, 5 3 15, etc.) producen los múltiplos de 5. De igual manera, el conjunto de múltiplos de 4 consiste de 0, 4, 8, 12, 16, etc. A veces es necesario determinar el mínimo común múltiplo, que no sea cero, de dos o más números enteros. Usamos la frase mínimo común múltiplo para designar a este número. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12, lo que significa que 12 es el número más pequeño, que no es cero, que es múltiplo tanto de 3 como de 4. Puesto de otra manera, 12 es el número entero más pequeño que es divisible tanto entre 3 como entre 4. De la misma manera, se dice que el mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24. Si no podemos determinar el mínimo común múltiplo a primera vista, entonces la descomposición en factores primos de números compuestos puede ser de ayuda. Si el mínimo común múltiplo no es obvio a primera vista, entonces procedemos de la siguiente manera. Paso 1 Expresar el número como producto de factores primos. Paso 2 El mínimo común múltiplo contiene cada factor primo tantas veces como el máximo de veces que aparezca en cualquiera de las descomposiciones del paso 1.