1.2 • Números primos y compuestos
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5. 35 es un múltiplo de 5 porque 5 7 35. 6. 29 no es un múltiplo de 7 porque no hay un número entero, k, de tal manera que 7 k 29. Se usa extensamente el término de factor. Se dice que 7 y 8 son factores de 56 porque 7 8 56; 4 y 14 también son factores de 56 porque 4 14 56. Los factores de un número también son divisores del número. Ahora considere dos tipos especiales de números enteros llamados números primos y números compuestos según la siguiente definición. Definición 1.2 Un número primo es un número entero, mayor a 1, que no tiene más factores (divisores) que sí mismo y 1. Los números enteros mayores que 1 que no son números primos, se llaman números compuestos. Los números primos menores a 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Note que cada uno de éstos no tiene más divisores que sí mismo y 1. El conjunto de número primos es infinito; es decir, no existe ningún número primo que sea el más grande. Podemos expresar cada número compuesto como un producto de números primos, también conocido como la descomposición en factores primos de un número. Considere los siguientes ejemplos. 4 2 2
6 2 3
8 2 2 2
10 2 5
12 2 2 3
En cada caso se expresa un número compuesto como el producto de ciertos números primos. Hay varios procedimientos para encontrar los factores primos dado un número compuesto. Para nuestro propósito, la técnica más simple es descomponer el número compuesto en dos factores fácilmente reconocibles y después descomponer cada uno de ellos hasta obtener sólo factores primos. Considere estos ejemplos. 18 2 9 2 3 3 24 4 6 2 2 2 3
27 3 9 3 3 3 150 10 15 2 5 3 5
No importa cuáles factores se elijan primero. Por ejemplo, se puede comenzar por escribir a 18 como 3 · 6 y después descomponer a 6 en 2 3, lo cual produce el resultado final de 18 3 2 3. De cualquier manera, 18 contiene dos factores primos de 3 y un factor primo de 2. El orden en el que se escriban los factores primos no es relevante.
Máximo común divisor Podemos usar la descomposición en factores primos de dos números compuestos para hallar su máximo común divisor. Considere el siguiente ejemplo. 42 2 3 7 70 2 5 7 Note que 2 es el factor de ambos, así como lo es 7. Por ende, 14 (el producto de 2 y 7) es el máximo común divisor de 42 y 70. En otras palabras, 14 es el número entero más grande que divide tanto a 42 como a 70. Los siguientes ejemplos ayudarán a aclarar el proceso de hallar el máximo común divisor de dos o más números. Ejemplo de salón de clases Hallar el máximo común divisor de 45 y 150
EJEMPLO 1
Hallar el máximo común divisor de 48 y 60.
Expresar cada número como el producto de factores primos:
Solución 48 2 2 2 2 3 60 2 2 3 5 Ya que ambos tienen dos 2 y un 3 en común, el máximo común divisor de 48 y 60 es 2 2 3 12.