La gura (a) muestra un collarín A de masa m 1.8 kg que resbala sobre una varilla sin fricción que se encuentra en el plano vertical. Una cuerda está unida a A y pasa sobre una polea en B. La fuerza horizontal constante P se aplica al nal de la cuerda. El collarín se suelta a partir del reposo en la posición 1; 1. determine la rapidez del collarín en la posición 2 si P 20 N; 2. encuentre el valor menor de P para el que el collarín alcanzará la posición 2.
P B L2
L1
2
2.5 m m
h
30° A
2m
1
(a)
B
x
Se pide determinar el cambio en la rapidez del collar entre dos posiciones especi cadas, que de manera ideal es una tarea adecuada para el método de trabajo-energía. En la gura (b) se muestra el DCL del collar. Sólo el peso W de este último y la fuerza P aplicada por la cuerda realizan trabajo sobre el collarín. La fuerza normal de contacto NA, no efectúa trabajo porque es perpendicular a la varilla (la trayectoria del collar); por tanto, en la gura NA se indica como una echa discontinua, lo que indica que no es parte del diagrama de fuerza activa (recuerde que un diagrama de fuerza activa puede obtenerse al eliminar en el DCL todas las fuerzas que no realizan trabajo).
W = mg 30° y
x
P
θ
El trabajo realizado por el peso W mg del collarín puede obtenerse de la ecuación (14.7): U1−2 = −mgh
30° NA
(b)
(a)
donde h es el cambio en la elevación que se muestra en la gura (a). En la gura (b) P es una fuerza central (siempre está dirigida hacia B) de magnitud constante. Así, su trabajo puede calcularse mediante la ecuación (14.8): U1−2 = −P
L2
dL = P(L 1 − L 2 )
(b)
L1
donde L1 y L2 son las longitudes que se muestran en la gura (a).
Sea v2 la rapidez del collar en la posición 2, entonces se tiene T1 0 (el collarín está en reposo en la posición 1) y T2 12 mv22. Así, el principio de trabajo-energía implica U1−2 = T2 − T1 −mgh + P(L 1 − L 2 ) =
1 2 mv − 0 2 2
(c)
El trabajo U1 2 resultó al sumar las contribuciones de W y P en qlas ecuaciones (a) ( ) ( ) y (b). De la gura (a) se obtiene que h 2 sen 30o 1.0 m, L 1 = (2 cos 30◦ )2 + (2.5)2 = 3.041 m, y L 2 = 2.5−1.0 = 1.5 m. Cuando se sustituyen esos valores, junto con m 1.8 kg y P 20 N, en la ecuación (c), se obtiene
que implica
1 −(1.8)(9.81)(1.0) + 20(3.041 − 1.5) = (1.8)v22 2 v2 = 3.82 m/s