ESTADĂ?STICAS Y ECONOMETRĂ?A FINANCIERA
A continuaciĂłn se calcula la varianza de y. Se recuerda que la varianza se define como:
var ( yt ) J 0
^
E ª yt E yt ºŸ
2
`
E[( yt P ) 2 ]
(34)
Sin perder generalidad en este proceso, se asume que Îź = 0 y se desarrolla la ecuaciĂłn (34):
E[ yt 2 ] E[(ut T1 u ut 1 T 2 u ut 2 T3 u ut 3 ) 2 ]
var ( yt ) J 0
(35)
Si se opera: 2 2 2 Ȗ0 E[(ut2 +ș12 ×ut-1 +ș22 ×ut-2 +ș32 ×ut-3 +(2×ș1 ×ut ×ut-1 +otros tÊrminos cruzados)]
(36)
Se analiza el primer tÊrmino cruzado que se presenta en la ecuación (2 u θ1 u ut u ut-1 ). Para esto se recuerda que la covarianza se define como:
cov (ut , ut j )
E (ut u ut j ) E (ut ) u E (ut j )
E (ut u ut j )
(37)
Asimismo, como los errores son ruidos blancos, la autocovarianza de los errores es cero, obsÊrvese la ecuación (10). Por lo tanto, cuando se aplique el operador de la esperanza a cada uno de los tÊrminos cruzados en la ecuación (36), estos serån iguales a cero. Lo que queda por ver ahora es quÊ pasa con los primeros elementos de la ecuación (36): 2 2 2 var(yt )= Ȗ 0 E(ut2 )+ș12 × E(ut-1 )+ș22 × E(ut-2 )+ș32 × E(ut-3 )
var(yt )= Č– 0
V 2 ș12 u V 2 ș22 u V 2 ș32 u V 2
var(yt )= Č– 0
V 2 u (1+ș12 ș22 ș32
(38)
Ahora, lo que queda por calcular son las autocovarianzas de este modelo. Para eso se recuerda que: cov ( yt , yt j )
E ( yt u yt j ) E ( yt ) u E ( yt j ) E ( yt u yt j )
(39)
En esta ecuaciĂłn se sigue con el supuesto que Îź = 0, es decir que E(y t ) = E(yt-1 ) = 0. Se procede a calcular la autocovarianza de primer orden: cov( yt , yt 1 ) E( yt u yt 1 ) E[(ut T1 u ut 1 T2 u ut 2 T3 u ut 3 ) u (ut 1 T1 u ut 2 T2 u ut 3 T3 u ut 4 )] (40)
Si se opera: 2 2 2 cov(yt , yt-1 )= E(yt u yt-1 )= E[ș1 u Xt-1 ș1 u ș2 u Xt-2 ș2 u ș3 u Xt-3 WÊrminos cruzados] (41)
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