Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera. 8a. Ed. Dennis Zill

3.1

misma que la ecuación dv兞dt g, donde se toma g 32 pies/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de caùón al tiempo t. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de caùón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura måxima que alcanza la bala.

37. ¿QuÊ tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantånea. Esta es la razón por la que la altura måxima que alcanza la bala del caùón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: 0RGL¿TXH ligeramente la ED del problema 35.]

38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaĂ­das y equipo juntos pesan otras 35 libras. DespuĂŠs de saltar del aviĂłn desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaĂ­das.

Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la caída libre y k 10 despuÊs de que se abrió el paracaídas. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuål es la velocidad de la paracaidista y quÊ distancia ha recorrido despuÊs de 20 segundos de TXH VDOWy GHO DYLyQ" 9HD OD ¿JXUD ¢&yPR VH FRPpara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuånto tarda en llegar al suelo?

[Sugerencia: Piense en funciĂłn de dos diferentes PVI.] la resistencia del aire es 0.5 v

la resistencia del aire es 10 v

FIGURA 3.1.13

caĂ­da libre

el paracaĂ­das se abre

t = 20 s

CĂĄlculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38.

39. EvaporaciĂłn de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ĂŠsta se evapora mientras conserva su forma esfĂŠrica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su ĂĄrea VXSHUÂżFLDO \ TXH VH GHVSUHFLD OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH HQWRQces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es dv 3(k/ )

v g. dt (k/ )t r0 AquĂ­ U es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la direcciĂłn hacia abajo se considera positiva.

MODELOS LINEALES

l

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a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (kĺ…žU)t r0. c) Si r0 0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos despuĂŠs de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo.

40. 3REODFLyQ ÀXFWXDQWH La ecuación diferencial dP兞dt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemåtico para una población P(t TXH H[SHULPHQWD ÀXFtuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0) P0.

8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH la soluciĂłn para diferentes elecciones de P0.

41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de poblaciĂłn de P(t) de una comunidad, se supone que dP dB dD ,

dt dt dt donde dBĺ…ždt y dDĺ…ždt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a) Determine P(t) si dBĺ…ždt k1P y dDĺ…ždt k2P. b) Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1 k2.

42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante estå dada por dP kP h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0. b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 h兞k, P0 h兞k y 0 P0 h兞k. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la población de peces desaparecerå en un tiempo ¿QLWR HV GHFLU VL H[LVWH XQ WLHPSR T 0 tal que P(T) 0. Si la población desaparecerå, entonces determine en quÊ tiempo T. 43. Propagación de una medicina Un modelo matemåtico para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo estå dado por dx r kx, dt donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función que describe la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo al tiempo t. a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t → .