1.4
Superficies de revolución
13
(ejercicio resuelto). Graficar en el primer octante (v. sección 1.2) el plano cuya ecuación es, fig. 1.14
Ejemplo 1.13
x + y + z = 1.
1.0 0.75 0.5 0.25 0.0 0.0
0.0 0.5 u
v 0.5 1.0
(1.14)
Encuentre tres puntos no colineales sobre él y muestre S que efectivamente el vector N = (1, 1, 1) es un vector normal al plano dado. Dada una ecuación lineal en tres variables, tenemos dos grados de libertad, por lo tanto, encontrar tres puntos no colineales es dar valores, por ejemplo, a x y y, y encontrar z que satisfaga la ecuación. Luego verificar que los dos vectores formados con estos tres puntos no son uno múltiplo del otro. Por ejemplo P1(0, 0, 1), P2(0, 1, 0), P3(1, 0, 0). Ahora el producto vectorial es: P 3 P 1 × P 3 P 2 = (−1, −1, −1).
1.0
(1.15)
S
Efectivamente N y P 3 P 1 × P 3 P 2 son paralelos y por S tanto N es un vector normal, al plano.
Figura 1.14. Plano x + y + z = 1
(ejercicio resuelto). Dados los puntos A(−1, 2, 0), B(6, 0, 1) y C (0, 3, 1), encontrar la ecuación del plano a que los contiene.
Ejemplo 1.14
¡
¡
Encontramos los vectores AB y AC, ¡
¡
AB = (7,−2, 1), AC = (1, 1, 1)
y el vector normal S
¡
¡
N = AB × AC = (7, −2, 1) × (1, 1, 1) = (−3, −6, 9) = −3(1, 2, −3).
Como punto inicial P, tomamos el punto A. Entonces la ecuación del plano es x + 2y − 3z = 3.
1.4 Definición 1.3.
Superficies de revolución Una superficie de revolución en el espacio 3 es una superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de un eje que está en el plano de la curva. Supongamos el espacio tridimensional 3 dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Un caso particular es cuando el eje de rotación es alguno de los ejes coordenados y la curva C está sobre alguno de los planos coordenados.