1.2
Ejemplo 1.8.
Coordenadas en el espacio 3
9
(ejercicio resuelto). Hallar las coordenadas cartesianas del punto A con coordenadas esféricas (4, 2py3, py6). Se tiene que, por las ecuciones 1.5, x = 4 sen (2py3) cos (py6) = 3, y = 4 sen (2py3) sen (py6) = w3, z = 4 cos (2py3) = −2, por lo tanto las coordenadas cartesianas de A son (3, w3, −2).
Ejemplo 1.9.
(ejercicio resuelto). Hallar las coordenadas esféricas del punto A con coordenadas cartesianas (−1y2, w3y2, w3). Tenemos: r = z(−1y2) 2 + (w3y2) 2 + (w3) 2 = 2 .
Luego sen f = 1y2, cos f = w3y2, entonces f = py6. Finalmente, sen u = w 3y2, cos u = −1y2, entonces u = 2py3, así que las coordenadas , 2p esféricas de A son (2, p 6 3 ). Ejemplo 1.10.
Expresar la ecuación cartesiana x2 + y2 = 1 del cilindro cuyo eje coincide con el eje z y radio 1 en coordenadas esféricas. Reemplazamos x, y, z en la ecuación por x = r sen f cos u, y = r sen f sen u, z = r cos f, entonces obtenemos que r2 sen2 f = 1, es la ecuación del cilindro con respecto a las coordenadas esféricas.
Ejemplo 1.11.
Expresar la ecuación cartesiana x2 + y2 + z2 = 9 de la esfera con el centro (0, 0, 0) y radio 3 en coordenadas esféricas. Reemplazamos x, y, z en la ecuación con x = r sen f cos u, y = r sen f sen u, z = r cos f, entonces obtenemos que r2 = 9, y luego r = 3. Esta expresión es la ecuación de la esfera en coordenadas esféricas.
Octantes Notación
Nombre
R
I
Primer octante
r>0
II
Segundo octante
r>0
III
Tercer octante
r>0
IV
Cuarto octante
r>0
F 0<f<
U
p 2
p 2 p 0<f< 2 p 0<f< 2 0<f<
0<u<
p 2
p <u<p 2 p<u<
3p 2
3p < u < 2p 2