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CAPÍTULO 1
Ejemplo 1.5.
Curvas y superficies
Hallar las coordenadas cartesianas del punto A ∈ 3 que tiene las coordenadas cilíndricas (2, 2p/3, –4). Las coordenadas cartesianas del punto A ∈ 3 son x = 2 cos (2p/3) = –1, y = 2 sen (2p/3) = w3 y z = –4.
Ejemplo 1.6.
Escribir la ecuación x2 + y2 = 1 del cilindro con eje en el eje z y radio 1 en coordenadas cilíndricas. Reemplazamos x, y, z en la ecuación por x = r cos u, y = r sen u, z = z , entonces obtenemos que r2 = 1, y luego r = 1 porque r > 0. Entonces, la ecuación del cilindro con respecto a las coordenadas cilíndricas es r = l.
Ejemplo l.7.
Expresar la ecuación x2 + y2 + z2 = 4 de la esfera con el centro (0, 0, 0) y radio 2 en coordenadas cilíndricas.
Reemplazamos x, y, z en la ecuación por x = r cos u, y = r sen u, z = z , entonces obtenemos que r2 + z2 = 4. Esta expresión es la ecuación de la esfera con respecto a las coordenadas cilíndricas. Octantes En términos de las coordenadas cilíndricas, los octantes son: Notación
Nombre
r
z
I
Primer octante
r>0
0<u<
p 2
z>0
II
Segundo octante
r>0
p <u<p 2
z>0
III
Tercer octante
r>0
p<u<
3p 2
z>0
IV
Cuarto octante
r>0
z>0
V
Quinto octante
r>0
VI
Sexto octante
r>0
VII
Séptimo octante
r>0
VIII
Octavo octante
r>0
3p < u < 2p 2 p 0<u< 2 p <u<p 2 3p p<u< 2 3p < u < 2p 2
U
z<0 z<0 z<0 z<0