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CAPÍTULO 1
Curvas y superficies
Los elementos del conjunto 3 se llaman puntos en 3. Si A = (x, y, z) es un punto en 3, los números x, y y z se llaman coordenadas cartesianas del punto A, y se escriben como A(x, y, z). Octantes En el espacio 3 se introducen los siguientes conjuntos, llamados octantes: Notación
Nombre
x
y
z
I
Primer octante
x>0
y>0
z>0
II
Segundo octante
x<0
y>0
z>0
III
Tercer octante
x<0
y<0
z>0
IV
Cuarto octante
x>0
y<0
z>0
V
Quinto octante
x>0
y>0
z<0
VI
Sexto octante
x<0
y>0
z<0
VII
Séptimo octante
x<0
y<0
z<0
VIII
Octavo octante
x>0
y<0
z<0
Superficies elementales Si a, b, c ∈ son constantes diferentes de cero, entonces:
1.2.1
Ecuación
Descripción cartesiana
x=0
Plano coordenado yz
y=0
Plano coordenado xz
z=0
Plano coordenado xy
x=a
Plano paralelo al plano yz
y=b
Plano paralelo al plano xz
z=c
Plano paralelo al plano xy
Coordenadas cilíndricas (r, U, z) En el espacio 3 fijamos un punto O y un rayo OZ . Sea Π el plano ortogonal al rayo OZ que pasa por el punto O y OA un rayo en el plano Π. Sean (r, u) las coordenadas polares en el plano Π determinadas por el polo O y eje polar OA. Para cada punto M ∈ 3 OZ, sea M' la proyección de M sobre el plano Π (v. figura 1.5). Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto M son la terna ordenada (r, u, z) donde (r, u) son las coordenadas polares del punto M' en el plano Π y z es la longitud del segmento orientado MM'. Por la definición r > 0,
0 ≤ u < 2p,
z ∈ .