SECCIÓN 16.2
INTEGRALES DE LÍNEA
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EJEMPLO 2 Evalúe xC 2x ds, donde C consiste del arco C1 de la parábola y x2 desde
(0, 0) hasta (1, 1) seguido por el segmento rectilíneo C2 desde (1, 1) hasta (1, 2). y
SOLUCIÓN La curva C se muestra en la figura 5. C1 es la gráfica de una función de x, de
modo que elegimos a x como el parámetro y las ecuaciones de Cl se vuelven
(1, 2)
C™ (1, 1)
Por tanto,
C¡ (0, 0)
y x2
x x
y
x
C1
冑冉 冊 冉 冊 dx dx
2x ds y 2x 1
0
FIGURA 5
2
2
dy dx
]
5s5 1 6
1
14 ⴢ 23 共1 4x 2 兲3兾2 0
C=C¡ 傼 C™
0 x 1
dx y 2xs1 4x 2 dx 1
0
Sobre C2 elegimos a y como el parámetro, de modo que las ecuaciones de C2 son x 1
y
y
C2
Por tanto,
y y
冑冉 冊 冉 冊 dx dy
2x ds y 2共1兲 2
1
y
C
1 y 2
2
dy dy
dy y 2 dy 2 2
1
5s5 1 2 6
2x ds y 2x ds y 2x ds C1
2
C2
Cualquier interpretación física de una integral de línea xC f 共x, y兲 ds depende de la interpretación física de la función f. Suponga que r(x, y) representa la densidad lineal en un punto (x, y) de un alambre delgado con forma de la curva C. Entonces la masa de la parte del alambre desde Pi 1 hasta Pi, de la figura 1, es aproximadamente 共x*i , yi*兲 si y, así, la masa total del alambre es aproximadamente 冘 共x*i , yi*兲 si . Al tomar más y más puntos sobre la curva obtenemos la masa m del alambre como el valor límite de estas aproximaciones: n
m
x*i , yi*
lím
nl
si
i 1
y
x, y ds
C
[Por ejemplo, si f (x, y) 2 x2y representa la densidad de un alambre semicircular, entonces la integral del ejemplo 1 representaría la masa del alambre.] El centro de masa del alambre con función de densidad r se sitúa en el punto 共x, y兲, donde 4
x
1 m
y
C
x 共x, y兲 ds
y
1 m
y
C
y 共x, y兲 ds
Otra interpretación física de las integrales de línea se estudia más adelante en este capítulo.
v EJEMPLO 3 Un alambre toma la forma de una semicircunferencia x2 y2 1, y 0, y es más grueso cerca de su base que de la parte superior. Calcule el centro de masa del alambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distancia desde la recta y 1. SOLUCIÓN Como en el ejemplo 1, usamos la parametrización x cos t, y sen t,
0 t p; y encontramos que ds dt. La densidad lineal es r(x, y) k(1 y)