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CAPÍTULO 16
CÁLCULO VECTORIAL
La función s de la longitud de arco se trata en la sección 13.3.
Si s (t) es la longitud de C entre r(a) y r(t), entonces, ds dt
冑冉 冊 冉 冊 2
dx dt
2
dy dt
La manera de recordar la fórmula 3 es expresar todo en términos del parámetro t: usamos las ecuaciones paramétricas para expresar x y y en términos de t y escribimos ds como ds z
冑冉 冊 冉 冊 2
dx dt
dy dt
2
dt
En el caso especial donde C es el segmento rectilíneo que une (a, 0) con (b, 0), al usar x como parámetro, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de C como sigue: x x, y 0, a x b. La fórmula 3 se transforma en
0
C
f(x, y) (x, y)
y
y
f 共x, y兲 ds y f 共x, 0兲 dx b
a
C
y en este caso la integral de línea se reduce a una integral simple ordinaria. Justo para una integral simple ordinaria se interpreta la integral de línea de una función positiva como un área. De hecho, si f (x, y) 0, entonces xC f 共x, y兲 ds representa el área de un lado de la “cerca” o de la “cortina” de la figura 2, cuya base es C y altura por arriba del punto (x, y) es f (x, y).
x
FIGURA 2
EJEMPLO 1 Evalúe xC 共2 x 2 y兲 ds, donde C es la mitad superior de la circunferencia
unitaria x 2 y 2 1.
y
SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la fórmula 3 necesitamos primero ecuaciones
≈+¥=1 (y˘0)
paramétricas que representen a C. Recuerde que la circunferencia unitaria se puede parametrizar por medio de las ecuaciones x cos t
0
_1
x
1
y sen t
y la mitad superior de la circunferencia se describe por el intervalo del parámetro 0 t p. (Véase la figura 3). Por tanto, la fórmula 3 da
FIGURA 3
y
C
2
x 2 y ds
2
cos 2 t sen t
y
2
cos 2 t sen t ssen2 t
y
2
cos 2 t sen t dt
0
0
0
y
C¢
2
C∞ C™
C£
C¡ 0
FIGURA 4
Una curva suave por tramos
x
dx dt
y
2
dy dt
2
dt
cos 2 t dt 2t
cos 3 t 3
0
2 3
Supongamos que C es una curva suave por tramos; es decir, C es una unión de una cantidad finita de curvas suaves C1, C2, . . . , Cn , donde, de acuerdo con la figura 4, el punto inicial de Ci 1 es el punto final de Ci. Entonces, definimos la integral de f a lo largo de C como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes suaves de C:
y
C
f 共x, y兲 ds y f 共x, y兲 ds y f 共x, y兲 ds y C1
C2
Cn
f 共x, y兲 ds