SECCIÓN 16.2
INTEGRALES DE LÍNEA
1063
Integrales de línea
16.2
En esta sección se define una integral que es similar a la integral simple, excepto que en lugar de integrar sobre un intervalo [a, b], integramos sobre una curva C. Estas integrales se llaman integrales de línea, aunque un mejor nombre es el de “integrales curvilíneas”. Fueron inventadas a principios del siglo XIX para resolver problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo. Iniciamos con una curva plana C dada por las ecuaciones paramétricas x x共t兲
1 y
P i*(x i*, y *i )
Pi-1
Pi
C
Pn
P™ P¡ P¸
x
0
y y共t兲
a t b
o, en forma equivalente, por la ecuación vectorial r(t) x(t) i y(t) j, y supongamos que C es una curva suave. [Esto significa que r es continua y que r (t) 0. Véase la sección 13.3.] Si dividimos el intervalo del parámetro [a, b] en n subintervalos 关ti 1, ti 兴 de igual ancho y hacemos x i x共ti 兲 y yi y共ti 兲, entonces los puntos correspondientes Pi 共x i , yi 兲 dividen a C en n subarcos de longitudes s1, s2 , . . . , sn (véase la figura 1). Elegimos cualquier punto Pi*共x i*, yi*兲 en el i-ésimo subarco. (Esto corresponde a un punto t*i en [ti 1, ti]). Ahora, si f es una función de dos variables cuyo dominio incluye a la curva C, evaluamos f en el punto 共x i*, yi*兲, multiplicamos por la longitud si del subarco, y formamos la suma
t *i a
t i-1
ti
n
b t
兺 f 共x *, y*兲 s i
i
i
i 1
FIGURA 1
que es similar a la suma de Riemann. Luego tomamos el límite de estas sumas y establecemos la siguiente definición por analogía con la integral simple.
2 Definición Si f se define sobre una curva C suave dada por las ecuaciones 1, entonces la integral de línea de f a lo largo de C es
y
n
C
f x, y ds
f x i*, yi*
lím
nl
si
i 1
si este límite existe.
En la sección 10.2 encontramos que la longitud de C es
L
y
b
a
冑冉 冊 冉 冊 dx dt
2
2
dy dt
dt
Un razonamiento similar se puede plantear para demostrar que si f es una función continua, entonces el límite de la definición 2 siempre existe y la fórmula siguiente se puede usar para evaluar la integral de línea:
3
y
C
冑冉 冊 冉 冊
f 共x, y兲 ds y f ( x共t兲, y共t兲) b
a
dx dt
2
dy dt
2
dt
El valor de la integral de línea no depende de la parametrización de la curva, siempre que ésta se recorra exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b.