SECCIÓN 14.1
v
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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EJEMPLO 11 Grafique las curvas de nivel de la función
t共x, y兲 s9 x 2 y 2
k 0, 1, 2, 3
para
SOLUCIÓN Las curvas de nivel son
s9 x 2 y 2 k
x2 y2 9 k2
o bien
Ésta es una familia de circunferencias concéntricas con centro (0, 0) y radio s9 k 2 . Los casos k 0, 1, 2, 3 se ilustran en la figura 16. Intente imaginar estas curvas de nivel elevadas desde la superficie, y compare con la gráfica de t (un hemisferio) de la figura 7. (Véase TEC Visual 14.1A.) y
k=3 k=2 k=1 k=0 (3, 0)
0
x
FIGURA 16
Mapa de contorno de g(x, y)=œ„„„„„„„„„ 9-≈-¥ EJEMPLO 12 Grafique algunas curvas de nivel de la función h(x, y) 4x2 y2 1. SOLUCIÓN Las curvas de nivel son
4x 2 y 2 1 k
o bien
1 4
x2 y2 1 共k 1兲 k 1
la cual, para k 1, describe una familia de elipses con semiejes 12 sk 1 y sk 1 . En la figura 17a) se ilustra un mapa de contorno de h dibujado mediante una computadora. La figura 17b) muestra estas curvas de nivel elevadas para obtener la gráfica de h (un paraboloide elíptico), donde se transforman en trazas horizontales. En la figura 17 aparece cómo se ve la gráfica de h a partir de las curvas de nivel. y z
TEC Visual 14.1B muestra la conexión entre las superficies y sus mapas de contorno.
x
x
FIGURA 17
La gráfica de h(x, y)=4≈+¥+1 se forma elevando las curvas de nivel.
y
a) Mapa de contorno
b) Trazas horizontales, son curvas de nivel elevadas