SECCIÓN 14.1
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
es muy plana y cercana al plano xy excepto cerca del origen. La razón es que e x pequeña cuando x o y es grande.
2
y2
es muy
Curvas de nivel Hasta ahora se cuenta con dos métodos para representar funciones: diagramas de flechas y gráficas. Un tercer método, tomado prestado de los cartógrafos, es un mapa de curvas de nivel en el cual puntos de elevación igual se unen para formar líneas de contorno o curvas de nivel.
Definición Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f (x, y) k, donde k es una constante (en el rango de f ).
Una curva de nivel f (x, y) k es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado k. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f. Podemos ver en la figura 11 la relación entre curvas de nivel y trazas horizontales. Las curvas de nivel f (x, y) k son justamente las trazas de la gráfica de f en el plano horizontal z k proyectadas en el plano xy. Entonces, si dibujamos las curvas de nivel de una función y las representamos como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces podemos formar mentalmente una imagen de la gráfica. La superficie tiene pendiente abrupta donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. Es algo más plana donde las curvas de separan. z 40
45
00 45 00 50
00
LONESOME MTN.
0
A 55 00
B y 50
x
TEC Visual 14.1A proporciona figuras animadas de la figura 11 y muestra cómo se alzan las curvas de nivel hasta tener las gráficas de funciones.
0
FIGURA 11
450
f(x, y)=20
00
k=45 k=40 k=35 k=30 k=25 k=20
e Lon
som
ee e Cr
k
FIGURA 12
Un ejemplo común de las curvas de nivel son los mapas topográficos de regiones montañosas, como el mapa de la figura 12. Las curvas de nivel son curvas de elevación constante por arriba del nivel del mar. Si camináramos por una de esas curvas de nivel, nunca ascenderíamos ni descenderíamos. Otro ejemplo común es la función de temperatura mencionada en la introducción de esta sección. En este caso, las curvas de nivel se denominan isotermas, y unen localidades con la misma temperatura. En la figura 13 se muestra un