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CAPÍTULO 7
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
En los ejemplos anteriores, una potencia impar del seno o el coseno nos permiten separar un factor y el resto convertirlo en una potencia par. Si el integrando contiene potencias pares del seno y el coseno, esta estrategia falla. En este caso, podemos aprovechar las siguientes identidades del ángulo medio (veánse las ecuaciones 17b y 17a en el apéndice D): 1 2
sen 2x
v El ejemplo 3 muestra que el área de la región en la figura 2 es )Y2.
EJEMPLO 3
cos 2x
1
cos 2x
p
Evalúe y sen2x dx. 0
SOLUCIÓN Si escribimos sen2x m 1 cos2x, no se facilita la evaluación de la integral. Sin
sen
y
p
0
y
1 2
sen 2x dx
p
1
0
cos 2x dx
[ (x 1 2
1 2
FIGURA 2
1 2
cos 2x
y
embargo, utilizando la fórmula del ángulo medio para sen2x, tenemos
1
1 2
(p
1 2
p 0
]
sen 2x)
sen 2 p)
1 2
(0
1 2
sen 0)
1 2
p
Observe que hicimos mentalmente la sustitución u m 2x cuando integramos cos 2x. En el ejercicio 47 de la sección 7.1, vimos otro método para evaluar esta integral. EJEMPLO 4
Encuentre y sen 4x dx.
SOLUCIÓN Esta integral podría evaluarse utilizando la fórmula de reducción para
sen n x dx (ecuación 7.1.7) junto con el ejemplo 3 (como en el ejercicio 47 de la sección 7.1), pero un mejor método es expresar sen4x m (sen2x)2 y utilizar la fórmula del ángulo medio:
y sen x dx y 4
sen 2x 2 dx
y 1 4
y
2
1
cos 2x 2
1
2 cos 2x
dx cos 2 2x dx
Ya que vuelve a aparecer cos2 2x, usamos otra vez la fórmula del ángulo medio cos 2 2x
1 2
1
cos 4x
lo cual da
y sen x dx 4
1 4
y
1 4
y( (
1 3 4 2
1
x
3 2
2 cos 2x
1 2
2 cos 2x
1 2
sen 2x
1 8
1
cos 4x dx
cos 4x) dx
sen 4x)
C
Para resumir, proporcionamos una guía para evaluar integrales de la forma senmx cos nx dx, donde m 0 y n 0 son números enteros.