SECCIÓN 7.2
7.2
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
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Integrales trigonométricas En esta sección utilizaremos identidades trigonométricas para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas. Empezamos con las potencias del seno y el coseno. EJEMPLO 1
Evalúe y cos 3x dx.
SOLUCIÓN No es útil sustituir simplemente u m cos x, ya que entonces du m sen x dx.
Para integrar potencias del coseno, necesitamos un sen x como factor extra. Del mismo modo, una potencia del seno requiere un cos x como factor adicional. Debido a esto, podemos separar un factor coseno y convertir el factor restante cos2x en una expresión que involucre al seno, utilizando la identidad sen2x cos2x m 1: cos 3x
cos 2x cos x
sen 2x cos x
1
Con esto podemos evaluar la integral sustituyendo u m sen x, du m cos x dx y, así
y cos x dx y cos x 3
2
y
cos x dx u 2 du
1
sen x
1 3
y
1
1 3
u3
u
sen 2 x cos x dx C
sen 3x C
En general, intentamos escribir una integral que involucra potencias de seno y coseno en una forma en la que haya sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos del coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos del seno). La identidad sen2x cos2x m 1 posibilita esta conversión entre potencias pares del seno y el coseno, una en términos de otra.
v
Encuentre y sen 5x cos 2x dx.
EJEMPLO 2
SOLUCIÓN Podríamos convertir cos2 x a 1 sen2 x, pero se tendría una expresión en
términos de sen x sin ningún factor extra cos x. En cambio, si separamos un solo factor seno y reescribimos el factor restante sen4 x en términos de cos x: sen 5x cos 2x
y sen x cos x dx y 5
2
sen 2x 2 cos 2x sen x dx
y
1
cos 2x 2 cos 2x sen x dx
y
1
u2 2u2 u3 3
FIGURA 1
cos 2x 2 cos 2x sen x
1
Sustituyendo u m cos x, tenemos du m sen x dx, así que
En la figura 1 se muestra la gráfica del integrando sen5x cos2x del ejemplo 2 y su integral indefinida (con C m 0). ¿Cuál es cuál?
sen2x 2 cos 2x sen x
1 3
cos 3x
2
u5 5 2 5
y
du
cos 5x
u7 7
u2
2u 4
C 1 7
cos 7x
C
u 6 du