288
CAPÍTULO 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Puesto que f (x) m 0 para toda x, tenemos f (c) m 0, así que la ecuación 6 resulta f x2
f x1
0
f x2
o
f x1
Por tanto, f tiene el mismo valor que cualesquiera dos números x1 y x2 en (a, b). Esto significa que f es constante sobre (a, b). 7 Corolario Si f (x) m J (x) para toda x en un intervalo (a, b), entonces f J es constante sobre (a, b); esto es, f (x) m J(x) c donde c es una constante.
DEMOSTRACIÓN
Sea F(x) m f (x) J(x). Entonces F x
t x
f x
0
para toda x en (a, b). Así, por el teorema 5, f es constante; esto es, f J es constante. NOTA
Cuidado al utilizar el teorema 5. Sea f x
x x
1 1
si x si x
0 0
El dominio de f es D m Hx U x 0J y f (x) m 0 para toda x en D. Pero f, evidentemente, no es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Observe que f es constante sobre el intervalo (0, @) y también sobre el intervalo ( @, 0). EJEMPLO 6
Demuestre la identidad tan 1 x cot 1 x m )Y2.
SOLUCIÓN Aunque no es necesario utilizar el cálculo para demostrar esta identidad, la
demostración mediante él es muy sencilla. Si f (x) m tan 1 x cot 1 x, entonces f x
1 1
1 x2
1
x2
0
para todos los valores de x. Por tanto, f (x) m C, una constante. Para determinar el valor de C, ponemos x m 1 [porque podemos evaluar f (1) exactamente]. Entonces C
tan 1 1
f 1
cot 1 1
p 4
p 4
p 2
Así, tan 1 x cot 1 x m )Y2.
; Ejercicios
4.2
1-4 Verifique que la función satisface las tres hipótesis del teorema
de Rolle en el intervalo dado. Después encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle. 1. f x
5
12 x
2. f x
x3
x2
3. f x
sx
1 3
3x 2, 6x
x,
1, 3 2,
0, 3
0, 9
Se requiere calculadora graficadora o computadora
4. f x
cos 2 x,
p 8, 7 p 8
5. Sea f (x) m 1 x2Y3. Demuestre que f ( 1) m f (1), pero no hay
ningún número x m c en ( 1, 1) tal que f (c) m 0. ¿Por qué no contradice esto el teorema de Rolle? 6. Sea f (x) m tan x. Demuestre que f (0) m f ()), pero no hay
ningún número x m c en (0, )) tal que f (c) m 0. ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com