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CAPÍTULO 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA
DEMOSTRACIÓN
y
h (x)
A
y=ƒ
Aplicamos el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la recta secante AB. Mediante la ecuación 3, vemos que la ecuación de la recta AB puede escribirse como
ƒ B 0
a
x
b
f(b)-f(a) f(a)+ (x-a) b-a
x
FIGURA 5
o como
El teorema del valor medio fue formulado primero por Joseph Louis Lagrange (1736-1813), nacido en Italia de padre francés y madre italiana. Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en Turín a la tierna edad de 19 años. Lagrange hizo grandes contribuciones a la teoría de números, teoría de las funciones, teoría de las ecuaciones y a la mecánica celeste y analítica. En particular, aplicó el cálculo en el análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico el Grande, sucedió a Euler en la Academia de Berlín y, cuando Federico murió, Lagrange aceptó la invitación a París del rey Luis XVI, donde recibió apartamentos en el Louvre y un cargo de profesor en la Escuela Politécnica. A pesar de todos los lujos y la fama, era un hombre tranquilo, viviendo sólo para la ciencia.
f a
f b b
f a a
x
a
y
f a
f b b
f a a
x
a
f a a
x
Así, como se muestra en la figura 5, 4
Lagrange y el teorema del valor medio
y
hx
f x
f b b
f a
a
Primero, debemos verificar que h satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle. 1. La función h es continua sobre Fa, bG porque es la suma de f y una función polino-
mial de primer grado, ambas continuas. 2. La función h es derivable sobre (a, b) porque f y la función polinomial de primer
grado son derivables. De hecho, podemos calcular h directamente de la ecuación 4: h x
f x
f b b
f a a
(Note que f (a) y [ f (b) f (a)]Y(b a) son constantes.) 3.
ha
f a
f a
f b b
f a a
a
a
hb
f b
f a
f b b
f a a
b
a
f b
f a
f b
f a
0
0
Por tanto, h(a) m h(b). Dado que h satisface las hipótesis del teorema de Rolle, que señala que existe un número x m c en (a, b) tal que h (c) m 0, entonces se tiene 0
así que
h c
f c
f c f b b
f b b
f a a
f a a
v EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica, consideremos f (x) m x3 x, a m 0, b m 2. Puesto que f es una función polinomial, es continua y derivable para toda x, así que es ciertamente continua sobre F0, 2G y derivable sobre (0, 2). Por tanto, por el teorema del valor medio, existe un número x m c en (0, 2) tal que f (2) f (0) m f (c)(2 0) Ahora, f (2) m 6, f (0) m 0 y f (x) m 3x 2 1, así que la ecuación resulta 6 m (3c 2 1)2 m 6c 2 2