SECCIÓN 4.1
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS
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EJEMPLO 1 La función f (x) m cos x toma su valor máximo (local y absoluto) igual a 1, infinitas veces, ya que cos 2n) m 1 para cualquier entero n y 1 v cos x v 1 para todo x. Del mismo modo, cos (2n 1)) m 1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero.
EJEMPLO 2 Si f (x) m x2, entonces f (x) w f (0) porque x 2 w 0 para toda x. Por tanto, y
f (0) m 0 es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola y m x 2. (Véase la figura 4.) Sin embargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo.
y=≈
0
x
En la gráfica de la función f (x) m x 3, que se muestra en la figura 5, se ve que no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales. EJEMPLO 3
FIGURA 4
Valor mínimo =0. No hay máximo
y
y=˛
0
x
FIGURA 5
1R KD\ PtQLPR QL Pi[LPR
v
EJEMPLO 4
La gráfica de la función
y (_1, 37)
f (x) m 3x 4 16x 3 18x 2
y=3x$-16˛+18≈
se muestra en la figura 6. Podemos observar que f (1) m 5 es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es f ( 1) m 37. (Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un punto extremo.) Asimismo, f (0) m 0 es un mínimo local y f (3) m 27 es un mínimo tanto local como absoluto. Observe que f no tiene valor local ni máximo absoluto en x m 4.
(1, 5) _1
1
2
1 v x v 4
3
4
5
x
(3, _27)
Hemos visto que algunas funciones tienen valores extremos, mientras que otras no. En el teorema siguiente se dan las condiciones con que se garantiza que una función posea valores extremos. 3 Teorema del valor extremo Si f es continua sobre un intervalo cerrado Fa, bG, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimo absoluto f (d ) en algunos números c y d en Fa, bG.
FIGURA 6
En la figura 7 se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy aceptable a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por consiguiente, se omite.
\
FIGURA 7
0
\
\
a
c
d b
[
0
a
c
d=b
[
0
a c¡
d
c™ b
[