3.2
Tabla 3.3
Eric Harold Neville (1889–1961) DSRUWy HVWD PRGLÀFDFLyQ GH la fórmula de Lagrange en un DUWtFXOR SXEOLFDGR HQ >1@
x0 x1 x2 x3 x4
P0 P1 P2 P3 P4
P0,1 P1,2 P2,3 P3,4
P0,1,2 P1,2,3 P2,3,4
P0,1,2,3 P1,2,3,4
Aproximación de datos y método de Neville
89
P0,1,2,3,4
El procedimiento que usa el resultado del teorema 3.5 para generar recursivamente las aproximaciones de polinomios de interpolación recibe el nombre de método de Neville. La notación P que se usa en la tabla 3.3 es pesada debido al número de subíndices que se utilizan para representar las entradas. Observe, sin embargo, que mientras se construye un arreglo, sólo se necesitan dos subíndices. El procedimiento hacia abajo en la tabla corresponde al uso consecutivo de los puntos xi con una i más grande, y el procedimiento hacia la derecha corresponde al incremento del grado del polinomio de interpolación. Puesto que los puntos aparecen de manera consecutiva en cada entrada, necesitamos describir sólo un punto de inicio y el número de puntos adicionales que se usan en la construcción de la aproximación. Para evitar los múltiples índices, dejamos que Qi,j (x) para 0 ≤ j ≤ i, denote el polinomio de interpolación de grado j en los números (j + 1) xi− j , xi− j+1 , . . . , xi−1 , xi ; es decir
Q i, j = Pi− j,i− j+1,... ,i−1,i . Usando esta notación obtenemos el arreglo de notación Q en la tabla 3.4.
Tabla 3.4
Ejemplo 2
Tabla 3.5 x
f (x)
1.0 1.3 1.6 1.9 2.2
0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623
x0 x1 x2 x3 x4
P0 P1 P2 P3 P4
= = = = =
Q 0,0 Q 1,0 Q 2,0 Q 3,0 Q 4,0
P0,1 P1,2 P2,3 P3,4
= = = =
Q 1,1 Q 2,1 Q 3,1 Q 4,1
P0,1,2 = Q 2,2 P1,2,3 = Q 3,2 P2,3,4 = Q 4,2
P0,1,2,3 = Q 3,3 P1,2,3,4 = Q 4,3
P0,1,2,3,4 = Q 4,4
Los valores de diferentes polinomios de interpolación en x 5 1.5 se obtuvieron en la ilustración al inicio de esta sección usando los datos que se muestran en la tabla 3.5. Aplique el método de Neville a los datos mediante la construcción de una tabla recursiva de la forma que se observa en la tabla 3.4. Solución
Sea x0 5 1.0, x1 5 1.3, x2 5 1.6, x3 5 1.9 y x4 = 2.2, entonces Q0,0 5 f (1.0), Q1,0 5 f(1.3), Q2,0 5 f(1.6), Q3,0 5 f(1.9) y Q4,0 5 f(2.2). Estos son los cinco polinomios de grado cero (constantes) que aproximan f(1.5) y son iguales a los datos que se proporcionan en la tabla 3.5. Al calcular la aproximación de primer grado Q1,1 (1.5) obtenemos
Q 1,1 (1.5) =
(x − x0 )Q 1,0 − (x − x1 )Q 0,0 x1 − x0
(1.5 − 1.0)Q 1,0 − (1.5 − 1.3)Q 0,0 1.3 − 1.0 0.5(0.6200860) − 0.2(0.7651977) = 0.5233449. = 0.3 =
De igual forma, Q 2,1 (1.5) =
(1.5 − 1.3)(0.4554022) − (1.5 − 1.6)(0.6200860) = 0.5102968, 1.6 − 1.3
Q 3,1 (1.5) = 0.5132634,
y
Q 4,1 (1.5) = 0.5104270.