3.1
Interpolación y el polinomio de Lagrange
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Además, f (x0 ) = f (2) = 1/2, f (x1 ) = f (2.75) = 4/11, y f (x2 ) = f (4) = 1/4, por lo que 2
P(x) =
f (xk )L k (x) k=0
1 64 1 (x − 2.75)(x − 4) − (x − 2)(x − 4) + (x − 2)(x − 2.75) 3 165 10 49 1 2 35 x − x+ . = 22 88 44 =
b) Una aproximación para f (3) = 1/3 (véase la figura 3.6) es f (3) ≈ P(3) =
105 49 29 9 − + = ≈ 0.32955. 22 88 44 88
Recuerde que en la sección de apertura de este capítulo (consulte la tabla 3.1), encontramos que ninguna expansión en polinomios de Taylor alrededor de x0 5 1 se puede usar para aproximar razonablemente f(x) 5 1/x en x 5 3. Figura 3.6 y 4 3 2
y 5 f (x)
1 y 5 P(x) 1
2
3
4
5
x
El siguiente paso es calcular un residuo o cota para el error involucrado en la aproximación de una función mediante un polinomio de interpolación. Teorema 3.3
Existen otras formas de expresar el término de error para el polinomio de Lagrange, pero ésta puede ser la forma más útil y la que concuerda más estrechamente con la forma de error del polinomio estándar de Taylor.
Suponga x0 , x1 , . . . , xn VRQ Q~PHURV GLVWLQWRV HQ HO LQWHUYDOR >a, b] y f ∈ C n+1 [a, b]. Entonces, para cada x en >a, b], existe un número ξ(x) (generalmente no conocido) entre mín {x0, x1, 7, xn} y máx{x0, x1, 7, xn} y, por lo tanto, en (a, b), con
f (x) = P(x) +
f (n+1) (ξ(x)) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ), (n + 1)!
(3.3)
donde P(x) es el polinomio de interpolación determinado en la ecuación (3.1). Demostración Primero observe que si x 5 x k para cualquier k 5 0, 1, 7, n, entonces f(xk ) 5 P(x k ) y al elegir ξ (x k )de manera arbitraria en (a, b) se obtiene la ecuación (3.3).